Chapitre 3 - Améliorer ses techniques Corrigés

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Égalité pour tout réel et équation Exercice 1 ; ;. Les nombres et sont donc solutions de l'équation Le nombre ne l'est pas. Égalité pour tout réel et équation Exercice 2 1. Présentons les résultats en
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Égalité pour tout réel et équation Exercice 1 ; ;. Les nombres et sont donc solutions de l'équation Le nombre ne l'est pas. Égalité pour tout réel et équation Exercice 2 1. Présentons les résultats en tableau : On obtient les mêmes résultats pour et. Il est possible que pour tout réel,, mais ce n'est pas certain. Des exemples ne suffisent pas à prouver une «égalité pour tout réel». Égalité pour tout réel et équation Exercice 3 Pour on a : On est donc sûr que les résultats et sont faux. Les résultats et peuvent être justes mais ce n'est pas une certitude. Pour le savoir, il faudrait transformer ces expressions. Résolutions graphiques Exercice 4 a. L'équation a pour seule solution 0 b. L'équation a trois solutions. c. L'équation a trois solutions. Résolutions graphiques Exercice 5 a. Les solutions de l'équation sont et. b. Les solutions de l'équation sont et. c. Les solutions de l'équation sont et environ. Transformer Exercice 6 a. est développée. b. n'est ni développée (il reste un produit à transformer) ni factorisée (ce n'est pas un produit mais une somme). c. est factorisée. d. est factorisée : elle est écrite sous forme d'un produit car. Transformer Exercice 7 a. b. = c. Il s'agit d'une forme : = d. Il s'agit d'une forme : Transformer Exercice 8 a. b. = c. On enlève d'abord les crochets en reconnaissant une forme = = On développe ensuite en reconnaissant une forme = = d. = Transformer Exercice 9 a. = b. = = c. = = d. = Transformer Exercice 10 a. b. = c. = d. e. s'écrit encore et se factorise en Transformer Exercice 11 a. On reconnaît une forme = = b. On reconnaît une forme c. On reconnaît une forme que l'on peut aussi écrire = d. s'écrit encore sous la forme. On reconnaît alors une forme = = Soit en réduisant : Transformer Exercice 12 a. = Ceci permet de faire apparaître un facteur commun : = b. On factorise (forme En remplaçant dans on obtient : = = On obtient donc comme factorisation : = que l'on peut encore écrire =. c. d. = = = Transformer Exercice 13 a. = b. est de la forme : D'où = c. On reconnaît ainsi une forme que l'on factorise : = d. est de la forme : Transformer Exercice 14 a. On factorise par étapes : On reconnaît maintenant comme facteur commun : que l'on peut encore écrire. c. = Cette expression est bien factorisée, mais on s'aperçoit qu'on peut la factoriser davantage en reconnaissant D'où = d. On reconnaît une forme Transformer Exercice 15 a. L'affirmation est vraie. Pour la démontrer, transformons le membre de gauche en le développant pour obtenir le membre de droite : Pour tout réel, Donc pour tout réel b. L'affirmation est vraie. Pour la démontrer, transformons le membre de droite en le développant pour obtenir le membre de gauche : Pour tout réel, =. Donc pour tout réel c. L'affirmation est fausse. Pour le démontrer, il suffit de donner un contre-exemple : Pour = 0² = 0 et =(-1)² + 1 = 2 L'affirmation «pour tout réel» est donc fausse. d. L'affirmation est vraie. Pour le montrer transformons les deux membres en les développant : D'autre part, = = On constate que pour tout réel, et sont égaux à. On en déduit donc que = pour tout réel Équations du premier degré Exercice 16 Seules les équations données en a. et d. sont des équations du premier degré. Équations du premier degré Exercice 17 Seules les équations b. et c. se ramènent à une équation du premier degré après simplification des termes en Équations du premier degré Exercice 18 a. La solution est 3. b. La solution est c. La solution est d. Pour trouver, on divise par = La solution est Équations du premier degré Exercice 19 La solution est b. On multiplie chaque membre par 2 : La solution est. c. La solution est d. On multiplie chaque membre par 3 : On obtient donc. Il n'y a aucune valeur de pour laquelle on ait. Il n'y a donc aucune valeur de telle que. Cette équation n'a pas de solution! Autres équations Exercice 20 On peut appliquer la «propriété du produit nul» aux équations données en a. et d. En b., le premier membre est bien un produit mais le second membre n'est pas nul : on ne peut appliquer directement cette propriété. En c. le premier membre n'est pas un produit mais une différence de deux termes, donc on ne peut pas appliquer cette propriété. Conseil Pour toutes les équations des exercices 21 à 26 on peut contrôler graphiquement à l'aide de la calculatrice les solutions trouvées. Autres équations Exercice 21 a. Il s'agit d'un produit qui est nul : OU OU Les solutions sont et. b. Par la «propriété du produit nul» : OU Les solutions sont et. c. Factorisons le premier membre : = Par conséquent, On peut ici appliquer la propriété du produit nul : OU OU Les solutions sont et. d. Factorisons le premier membre : On peut appliquer la propriété du produit nul : OU OU Les solutions sont et. Autres équations Exercice 22 a. Rassemblons tous les termes dans le premier membre pour que le second membre soit nul : Factorisons le premier membre : On peut désormais appliquer la propriété du produit nul : OU OU Les solutions sont et b. On utilise la même démarche : On factorise : = Par conséquent, OU OU Les solutions sont et c. OU d'où Les solutions sont et. OU d. Or Donc équivaut à soit L'équation n'a qu'une solution :. Autres équations Exercice 23 a. On peut choisir n'importe quelle forme pour calculer, mais le calcul est plus simple avec la forme développée (forme A). b. On choisit la forme B pour appliquer la «propriété du produit nul». c. On choisit la forme C pour obtenir un produit nul après avoir rassemblé tous les termes dans le premier membre et simplifié :. Autres équations Exercice On développe l'expression connue de (forme A) : Pour tout réel, On en déduit que pour tout réel (forme B) On développe la forme C proposée : = On retrouve la forme B. Donc pour tout réel, (forme C). Remarque : on aurait pu aussi factoriser la forme C pour retrouver la forme A en reconnaissant une forme 2. a. = 12 (forme B) b. (forme A) OU Les solutions sont 2 et 6. c. (forme C) La solution est 4. Autres équations Exercice Chercher les points d'intersection de et de l'axe des abscisses c'est chercher les points M ( de la courbe représentative de. On résout donc l'équation à l'aide de la forme factorisée (forme C) = 0 OU. Les solutions sont 18 et 2. La courbe coupe l'axe des abscisses aux points de coordonnées (18 ; 0) et (-2 ; 0). 2. Le point d'intersection de et de l'axe des ordonnées est le point de coordonnées (0 ;. Avec la forme développée (forme B), on a. La courbe coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; -36). 3. On résout donc l'équation à l'aide de la forme factorisée (forme A) qui va permettre de factoriser le premier membre après avoir rassemblé tous les termes dans ce premier membre : OU Les solutions sont 14 et 2. La courbe coupe la droite d'équation aux points de coordonnées (14 ; 64) et (2 ; 64). Autres équations Exercice 26 a. = 0 avec avec L'équation a une unique solution :. b. avec avec L'équation a une unique solution :. c. avec avec L'équation a une unique solution :
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