ÉQUATION DES ONDES SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES RIEMANNIENS DE TYPE NON COMPACT.

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ÉQUATION DES ONDES SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES RIEMANNIENS DE TYPE NON COMPACT. Ali Hassani To cite this version: Ali Hassani. ÉQUATION DES ONDES SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES RIEMAN- NIENS DE TYPE NON COMPACT..
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ÉQUATION DES ONDES SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES RIEMANNIENS DE TYPE NON COMPACT. Ali Hassani To cite this version: Ali Hassani. ÉQUATION DES ONDES SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES RIEMAN- NIENS DE TYPE NON COMPACT.. Mathématiques générales [math.gm]. Université de Nanterre - Paris X, 0. Français. tel HAL Id: tel https://tel.archives-ouvertes.fr/tel Submitted on Feb 0 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI École Doctorale : Connaissance, Langage, Modélisation Année universitaire 00-0 THÈSE DE DOCTORAT Spécialité : Mathématiques Appliquées Présentée par Ali HASSANI Intitulée : ÉQUATION DES ONDES SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES RIEMANNIENS DE TYPE NON COMPACT Thèse dirigée par M. Salah MEHDI Soutenue publiquement le 6 Juin 0, devant le jury composé de : M. Jean-Phillipe ANKER, Université d Orléans, Rapporteur M. Gérard LION, Université Paris-Ouest Nanterre la Défense, Examinateur M. Noël LOHOUÉ, C.N.R.S., Examinateur M. Salah MEHDI, Université Paul Verlaine de Metz, Directeur de thèse Mme Angela PASQUALE, Université Paul Verlaine de Metz, Examinatrice Au vu des rapports de M. Jean-Philippe ANKER et Mme Hajer BAHOURI Équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact Résumé Ce mémoire porte sur l étude des équations d évolution sur des variétés à coubure non nulle, plus particulièrement l équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact. Des propriétés de dispersion des solutions du problème de Cauchy homogène sont démontrées. Ces propriétés sont ensuite utilisées pour établir des estimations dites estimations de Strichartz. L examen de ces estimées permet de déduire que le problème de Cauchy non linéaire avec des non-linéarités de type puissance est globalement bien posé pour des données initiales petites et localement bien posé pour des données arbitraires. Après un chapitre introductif dédié aux définitions, propriétés algébriques et géométriques des espaces symétriques et à quelques aspects élémentaires d analyse harmonique sphérique sur ces espaces, un article est présenté : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. Cet article contient nos résultats principaux. Dans le dernier chapitre nous présentons en détail deux problèmes ouverts qui prolongent nos travaux. Il s agit respectivement d établir le lien entre le comportement asymptotique des estimées et les orbites nilpotentes, et l étude de l équation des ondes pour les formes différentielles sur les espaces symétriques. Mots-clés : Laplacien - Équation des ondes - Espaces symétiques - Analyse sphérique - Estimations de dispersion - Estimations de Strichartz - Problème de Cauchy localement et globalement bien posé - Orbites nilpotentes - Formes différentielles. Abstract In this memoir we study evolution equations on curved manifolds. In particular we are interested in the wave equation on Riemannian symmetric spaces of the noncompact type. Dispersive properties of solutions of homogeneous Cauchy problem are proved. These properties are then used to establish Strichartz-type estimates. A closer study of these estimates shows that the nonlinear Cauchy problem with power-like nonlinearities is globally well posed for small initial data and locally well posed for arbitrary initial data. The first chapter is devoted to definitions, algebraic and geometric properties of symmetric spaces and to few elementary aspects of spherical analysis on these spaces. Then our main results are represented in an article : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. In the last chapter we present in detail two open problems for future work. One issue is to establish a link between the asymptotic behavior of the estimates and nilpotent orbits, while another issue is the study of wave equation for differential forms on symmetric spaces. Key words : Laplacian - Wave equation - Symmetric spaces - Spherical analysis - Dispersive estimates - Strichartz estimates - Cauchy problem locally an globally well posed - Nilpotent orbits - Differential forms. Remerciements Je tiens tout d abord à témoigner ma profonde reconnaissance à Salah Mehdi pour m avoir donné la chance incroyable d effectuer cette thèse sous sa direction. Je le remercie de m avoir proposé dès le début des questions passionnantes, je le remercie aussi pour sa patience face à mes nombreux doutes, inquiétudes ou questions, pour sa disponibilité, ses encouragements constants et pour ses nombreux conseils. Je suis en admiration constante devant lui, tant pour ses idées mathématiques que pour les qualités pédagogiques dont il fait preuve, dans son bureau comme lors de conférences. Cher Salah, tu es formidable, merci pour tout. Je voudrais exprimer ma profonde gratitude à Noël Lohoué qui m a suggéré le problème et qui a guidé mes premiers pas dans cette thèse. Ses nombreux conseils et ses idées toujours pertinentes ont illuminé mes longues nuits de réflexion. Je remercie sincèrement Jean- Philippe Anker pour les nombreuses dicussions mathématiques toujours enrichissantes et pour ses nombreuses suggestions sans lesquelles ce travail n aurait jamais abouti. Merci à eux du fond du coeur. Je remercie très chaleureusement Jean-Philippe Anker et Hajer Bahouri d avoir accepté d être les rapporteurs de cette thèse. Je remercie également vivement Gérard Lion et Angela Pasquale de me faire l honneur d être membres du jury. Angela Pasquale m a consacré du temps lors de mes visites à Metz, je la remercie pour sa gentillesse et sa disponibilité. Un grand merci au révolutionnaire Laurent Mesnager pour ses nombreux conseils, coups de main et autres réponses humoristiques et énergiques à mes questions angoissées. Merci mon ami . Je souhaite remercier très chaleureusement l ensemble de l équipe Modal X de Nanterre qui m a acceuilli pendant ces années et m a ainsi permis d achever cette thèse. J en profite pour saluer les doctorants et jeunes docteurs que j ai été ravi de rencontrer à Nanterre, Esterina, Hélène, Kaouthar, Marc, Pierre-André et le talentueux arrière central Sébastien, ainsi que Frédéric et Zakaria avec qui j ai partagé le même bureau. Merci à tous mes copains de Montrouge pour toutes ces années d amitié et de soutien à distance. Merci à Anouar, Houcine, Chérif, Rafik, Foued, Mohamed, Yosr, mes deux cousins Chokri et Nader. Mes derniers mots s adressent à celui qui tout ceci n aurait aucun sens. À mon frère Yassine pour tous les moments magiques que j ai pu passer à ses côtés. Pour ses conseils et nos discussions parfois houleuses qui m ont permis d avancer et de remettre en question mes certitudes. Merci, il m a appris à cuisiner. Une pensée tendre à mes nièces Malek, Yasmine, Nour et mon neveux Hamidullah. Enfin, je remercie du fond du coeur mes parents pour le soutien qu ils m ont toujours apporté, pour le réconfort et la confiance qu ils me témoignent dans mes nombreux moments de doute, et pour leur philosophie. Un énorme merci, je vous dois tout. Vous avez tant fait pour moi, pour mes soeurs Yosra et Salsabil et pour mon frère Yassine. À vous qui m êtes si chers, je dédie cette thèse. Table des matières Introduction 6 Quelques outils d analyse harmonique sphérique 5. Espaces symétriques : Définitions. Notations Structure riemannienne Décomposition d Iwasawa. Décomposition de Cartan Normes sur g et G Analyse harmonique sur les espaces symétriques Normalisation des mesures de Haar Extension de la forme de Killing Fonctions sphériques Fonction c de Harish-Chandra Transformée de Fourier sphérique Théorème de Paley-Wiener Formule d inversion. Théorème de Plancherel Transformée euclidienne. Transformée d Abel Espaces de Schwartz. Distributions Espaces de Sobolev. Espaces de Besov Espaces de Sobolev Espaces de Besov Phénomène de Kunze-Stein. Dualité TT Wave equation on symmetric spaces Introduction Preliminaries. Notations Besov spaces Dispersive and Strichartz estimates on X = G/K Nonlinear wave equation on X = G/K 4 Perspectives Comportement asymptotique des estimées et orbites nilpotentes L équation des ondes pour les formes différentielles sur G/K Chapitre Introduction L objectif principal de ce mémoire est l étude de l équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact. On obtient des propriétés de dispersion pour l équation homogène t u u =0. L équation des ondes est l une des équations d évolution pour la quelle la vitesse de propagation est finie : le signal se deplace à une vitesse finie égale à un, ce qui signifie que si les données initiales ont un support dans une boule de rayon R, la solution à l instant T possède un support dans une boule de rayon R + T. On peut alors s attendre à ce que lorsque l énergie de la solution se répartie sur une région qui croît avec le temps, la taille de cette solution diminue en conséquence. D un point de vue physique, l exemple qui illustre cette constatation est la propagation des ondes à la surface d un lac lorsqu on jette une pierre : les rayons des cercles qui apparaissent deviennent de plus en plus grands, mais l amplitude des vagues diminue jusqu à ce qu ils disparaissent. La signification de ce phénomène est la décroissance des solutions lorsque t +. Il est également à noter qu un phénomène semblable se produit également pour d autres équations d évolution, même si la vitesse de propagation n est pas finie : les exemples les plus importants sont l équation de Schrödinger et l équation de la chaleur i u + u =0, t u u =0. t Pour ces deux équations, il est facile de prouver la propriété de décroissance grâce à la représentation explicite des solutions. Mais contrairement à l équation des ondes, si les données initiales sont à support compact, les solutions de ces équations à un instant T ne sont plus à support compact. Dans ce cas en utilisant la transformée de Fourier, on peut voir que les composantes des solutions avec des différentes fréquences se déplacent 6 à différentes vitesses. Cela est dû à la présence d un nuage de particules se deplaçant à énergies différentes. Cette description a été utilisée pour unifier le cas de vitesse finie et la cas de vitesse infinie. On parle alors de dispersion au lieu de décroissance en temps des solutions. L étude de ces propriétés est d une importance fondamentale à plusieurs points de vue. Cela est décisif en traitement de signaux sismiques, notamment lors de l acquisition de données surfaciques. L analyse des ondes de surface appliquée à la caractérisation du sol est un sujet d intérêt croissant en génie civil et en géologie. Le fait que ces ondes se propagent le long de la surface et aient une profondeur de pénétration dans le sol qui dépend de la fréquence implique une dispersion des ondes. D un point de vue traitement de signal, ce phénomène signifie que les différentes harmoniques de l onde se propagent à des vitesses différentes. En outre les estimations de dispersion sont un outil très utile dans des nombreux problèmes non linéaires, en particulier pour l équation des ondes et l équation de Schrödinger semi-linéaires, la théorie moderne des problèmes de Cauchy localement et globalement bien posés repose essentiellement sur ces estimations. Dans [34], Strichartz a établit le lien entre les estimations de dispersion et un problème classique d analyse harmonique, appelé la conjecture de restriction. Étant donnée une fonction f dans la classe de Schwartz sur R n+, alors sa transformée de Fourier f est bien définie et est dans la même classe, avec f L cf L. En particulier, si l on restreint f à une hypersurface quelconque H de R n+,ona f H L cf L. La question que l on se pose : est-il possible de remplacer la norme L à droite par une autre norme L p avec p =? La réponse est négative. En effet il est impossible de la remplacer par exemple par la norme L, où seulement la norme L de f est contrôlée par la norme L de f et donc, à priori, on ne peut pas restreindre une fonction de L à une hypersurface H de mesure nulle. Si on considère la transformée de Fourier de la solution de l équation des ondes homogène, on obtient une mesure à support inclus dans l hypersurface et les estimées de dispersion de la solution donnent des estimées pour cette mesure. Autrement dit, les propriétés de dispersion impliquent des propriétés de restriction et vice versa. Commencons par décrire quelques résultats sur les équations d évolution dans le cas euclidien R n pour n. Considérons l équation de Schrödinger : i u(t, x)+ u(t, x)=0, t u(t =0,x)=u 0 (x). Par transformation de Fourier, on peut montrer qu il y a une unique solution au sens des distributions (tempérées) qui s écrit en variables de Fourier comme suit : u(t, ξ)=e it ξ u 0 (ξ), 7 et en variables d espaces comme suit : u(t, x)=e it u 0 (x)= ( 4iπt) n/ e i x y 4t u 0 (y)dy. De cette formulation, on obtient l inégalité de dispersion suivante : e it u 0 (x) Ct n/ u 0 L (R n ), (.0.) en majorant simplement l exponentielle complexe par un. La solution de l équation de la chaleur u(t, x) u(t, x)=0, t u(t =0,x)=u 0 (x). possède la même représentation que celle de l équation de Schrödinger : u(t, x)=e t u 0 (x)= ( 4πt) n/ Ainsi, on obtient la même estimée de dispersion e i x y 4t u 0 (y)dy. e t u 0 (x) Ct n/ u 0 L (R n ). (.0.) Il est à noter qu il est beaucoup plus difficile d obtenir des estimations analogues à (.0.) et (.0.) pour l équation des ondes. Von Wahl [39] donne une description complète de ces estimées, en particulier il prouve que la solution de l équation satisfait la propriété suivante : t u(t, x) u(t, x)=0, u(t =0,x)=0, t u(t =0,x)=u (x). u(t, x) C( + t) n u W N, (R n ), n, pour des réels N = N(n) assez grands, où W N, (R n ) sont les espaces de Sobolev classiques sur R n. Ces estimées ont été améliorées et raffinées par plusieurs auteurs, en particulier par Kapitanski [4] puis par Ginibre et Velo [8] pour prendre la forme optimale suivante : u(t, x) Ct n u Ḃ n, (R n ) (.0.3) où Ḃs,q p (R n ) désigne l espace de Besov homogène sur R n défini par : fḃs,q p (R n ) = /q, jsq j f q L p (R ) (.0.4) n j Z 8 avec j f = F (ϕ j (ξ) f(ξ)) telle que ϕ j (ξ) = φ(ξ/ j+ ) φ(ξ/ j ),oùφ S(R n ) vérifie φ(ξ)=si ξ et φ(ξ)=0si ξ + 0. Il est possible de déduire de (.0.3) d autres estimées de type espace-temps. Ces estimées sont appelées estimations de Strichartz. Toutefois, ces estimées ne sont en fait qu un cas spécial dont la preuve est basée sur des techniques d analyse harmonique, comme le théorème d interpolation complexe de Stein. Ces estimations ont été dévéloppées et raffinées par Ginibre et Velo [8] qui en ont développé des outils abstraits d analyse fonctionnelle pour obtenir une description complète en excluant les cas limites. Ces cas ont été étudiés par Keel et Tao [6] qui ont donné une forme complète de ces estimées. Pour l équation de Schrödinger sur R n, les estimations de Strichartz ont la forme suivante : e it u 0 L r (I,L p (R n )) Cu 0 L (R n ), (.0.5) pour un intervalle quelconque I R et pour des couples admissibles (r, p) i.e. r + n p = n, r,p tels que (r, p) =(, ). (.0.6) 4 Le couple limite dans ce cas est (r, p)=(, n ) et l estimation (.0.5) reste vraie si n 3. n En revanche, si n =, le couple limite est (r, p) =(, ) et l estimation (.0.5) est en général fausse. Dans le cas de l équation de Schrödinger inhomogène i u(t, x)+ u = F(t, x) t u(t =0,x)=u 0 (x) l estimation de Strichartz s écrit : t e i(t s) F(s, x)ds L r (I,L p (R n )) CF L r 0 (I,L p (R n )) (.0.7) pour des couples (r, p) et ( r, p) où r et p désignent les conjugués de r et p respectivement. On considère maintenant l équation des ondes inhomogène sur R n t u(t, x) u(t, x)=f(t, x) u(t =0,x)=u 0 (x) t u(t =0,x)=u (x) (.0.8) Si les données initiales u 0 et u appertiennent respectivement aux espaces de Sobolev homogènes Ḣs (R n ) et Ḣs (R n ), et pour des couples admissibles (r, p) et ( r, p), i.e. r + n p n, r et p 4 (n ), n 3 (.0.9) n 3 9 tels que r + n p = n s = r + ñ p (.0.0) alors l estimation de Strichartz pour une solution u de (.0.8) s écrit comme suit : u L r (I,L p (R n )) C u 0 Ḣs (R n ) + u Ḣs (R n ) + F L r (I,L p (R n )). (.0.) Cette estimation reste vraie pour le couple limite (r, p)=(, (n ) ) si n 4, mais elle est n 3 fausse si n =3. p p Keel-Tao Keel-Tao n n r r Figure.. A gauche : Couples admissibles pour l équation de Schrödinger sur R n lorsque n 3. A droite : Couples admissibles pour l équation des ondes sur R n lorsque n 4. Parmi les applications les plus importantes des estimations de Strichartz est l étude des problèmes de Cauchy non linéaires liés à l équation de Schrödinger et à l équation des ondes i u(t, x)+ u(t, x)=f(u(t, x)) t u(t =0,x)=u 0 (x) t u(t, x) u(t, x)=g(u(t, x)) u(t =0,x)=u 0 (x) t u(t =0,x)=u (x) On notera que ces deux équations peuvent s écrire sous la forme : φ + Aφ = N(φ) (.0.) t où A est un opérateur différentiel en espace, et où l on se donne la donnée initiale φ(t = 0) = φ 0. La théorie des semi-groupes nous fournit un substitut pour l équation (.0.) : on dispose d un opérateur S(t)=e ta qui nous donne la solution de l équation linéaire, i. e. lorsque N =0et une solution de (.0.) résulte formellement du principe de Duhammel : φ(t)=s(t)φ 0 + t 0 0 S(t s)n(φ)(s)ds. (.0.3) Il est clair que pour mener à bien l étude de (.0.3), il faut commencer par étudier les propriétés de l équation linéaire, i. e. les propriétés de l opérateur S(t) (estimées de dispersion). Ceci permet souvent de dégager un cadre fonctionnel raisonnable, et dans un second temps, il s agit de trouver dans ce cadre fonctionnel (estimées de Strichartz), quels sont les espaces les mieux adaptés pour traiter les non-linéarités N(φ) pour terminer par le théorème classique du point fixe. Au-délà de l étude du problème de Cauchy, un certain nombre de questions se posent naturellement : à supposer que l on ait obtenu une solution locale en temps, que devient-elle à grand temps? A t-on existence globale à grand temps ou explosion? Dans l un ou l autre cas, quel est le comportement de la solution? Peut-on la comparer à un objet asymptotique plus simple, par exemple la solution d une équation linéaire, ou obtenir des bornes sur le taux d explosion? Dans ce cadre et, comme nous l avons cité dans (.0.3) et (.0.), il y a une famille d espaces fonctionnels qui apparaît naturellement, ce sont les espaces de Besov et les espaces de Sobolev. La question abordée dans ce mémoire est l extension de l étude des équations d évolution des espaces euclidiens dans le contexte des variétés de courbures non nulles. Il s agit principalement de comprendre l influence de la géométrie de ces variétés sur les effets de dispersion et de transférer les résultats (dans les deux directions) entre le cas plat et le cas courbe. Les variétés à courbure non nulle sont utilisées pour modéliser des espaces-temps. Parmi ces espaces, on peut citer l exemple des espaces anti de Sitter n-dimensionnel notés AdS n et de Sitter n-dimensionnel notés ds n. Ces deux espaces peuvent être représent
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