Equations intégrales et équations différentielles

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Equations intégrales et équations différentielles 7 avril 24. Motivation Exemple. On cherche une fonction inconnue x(t) vérifiant l équation intégrale suivante : x(t) = x + t a x(s)ds Dans la suite on
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Equations intégrales et équations différentielles 7 avril 24. Motivation Exemple. On cherche une fonction inconnue x(t) vérifiant l équation intégrale suivante : x(t) = x + t a x(s)ds Dans la suite on va travailler dans un cas concret (mais la méthode est la même dans le cas abstrait). x(t) = 3 + 2x(s)ds Approximations successives : x (t) 3, x (t) = 3 (+2(t )), x 2(t) = 3 (+2(t )+ 22 (t ) 2 ), x 3 (t) = 2 3 (+2(t )+ 22 (t ) (t ) 3 )... 3! Ou bien, on définit l opérateur de Picard : Γ : C [ 2,4] C [ 2,4] tel que Γ(x)(t) = 3 + 2x(s)ds. Notre problème devient sous cet angle le problème du point fixe de Γ (un point pour Γ est une fonction continue). On remarque que pour t [ 2,4], 6 n 2 6 n 2 x n (t) x n (t) = 2n t n 6n n! n! 62 2! 3 4 n 62 2! 2 2 = 62 2! 6 n 2 62 = 2 n 2 6n 2 2! Ceci montre que la suite des x n (t) forme une suite de Cauchy pour la norme sup de C [ 2,4] et donc converge uniformément vers une fonction limite x(t). On a la chance de connaitre une expression explicite de x(t) : x(t) = 3 e2(t ). 2 n 2 2 Vérifions que x(t) est bien solution de notre équation intégrale. Approximations successives : (avec t = ) x (t) x x (t) = x + x 2 (t) = x + = x +ax t = x (+at+ a2 t 2 ax ds a(x +ax s)ds 2 ) x n (t) = x (+at+ a2 t an t n n! ) converge ponct. n x exp(at) x (t) x 2 (t) x (t) Figure Problème de Cauchy : équation différentielle (Cauchy) Problème de point fixe de Picard : dx dt = v(t,x(t)) x(t ) = x (Picard) x(t) = x + ou bien t v(s,x(s))ds ẋ = v(t,x) x(t ) = x Proposition.. Soit Ω R R n ouvert, v : Ω R n continue, (t ;x ) Ω. Soit x : I R n continue avec (t,x(t)) Ω, t I Alors le couple (I,x) est solution de (Cauchy) (et donc C ) si et seulement s il est solution de (Picard). Démonstration. Cauchy Picard Si (I,x) est une solution C au problème de Cauchy, alors Cauchy Picard x(t) = x(t )+ t dx ds (s)ds = x + t v(s,x(s))ds PuisqueI s x(s) et(s,x) Ω v(s,x) sont continues, la composéet v(t,x(t)) d t est continue. Par le Théorème fondamental d intégration, v(s,x(s))ds = v(t,x(t)) dt t existe et continue. Comme x(t) = x + est solution du problème de Cauchy. t v(s,x(s))ds, la fonction x(t) est bien C et elle 3 Equations et inéquations intégrales, Lemme de Gronwall Problème. Cherchons les solutions continues de l équation intégrale u(t) = u(s)ds. On voit que u est bien une solution. Mais y a-t-il d autres solutions? On a en effet un résultat d unicité plus fort : Lemme.. Soit L. Si u C([,T]) est une solution de l inéquation intégrale ( ) u(t) L u(s)ds, t T. Alors u(t) t T. Démonstration. Soit M = sup [,T] u = max [,T] u. Par continuité, on a M +. Alors u(t) M u(s) M par ( ) par ( ) u(t) LMt u(s) LMs u(t) u(t) M L2 t u(t) M Ln t n n! n Vrai n d où u(t). 4 M τ Figure 2 Problème 2. Cherchons les solutions continues de l équation intégrale u(t) = u + L u(s)ds. On voit que u(t) = u e Lt est bien une solution. Mais y a-t-il d autres solutions? On a en effet mieux : Lemme.2. Soit u . Si u C([,T]) est une solution de l inéquation intégrale u(t) u +L Alors u(t) u e Lt, t T. u(s)ds, t T. Démonstration. Posons u(t) = u e Lt y(t). Nous allons montrer y(t). Notons que y(). Soit M et supposons par absurde que l ensemble I M = { t T : y(t) M} soit non-vide. Posons t sa borne inférieure. Par continuité (car y() ) y(t ) = M. On a u e Lt M = u e Lt y(t ) = u(t ) u +L u(s)ds = u + Lu e Ls y(s)ds u +u Me Lt u M D où u ( M). Donc M, contraire à l hypothèse. L ensemble I M est donc vide et y(t), t T. On pourrait aussi le démontrer par la méthode de l opérateur de Picard. 2 Existence et unicité des problèmes de Cauchy et de Picard Notations : I R intervalle ouvert, t I, B = B(x,r) R n boule ouverte, A = {x : I B continue} }{{} ensemble fermé dans E E = C (I;R n ) }{{} espace de Banach pour. 5 u Figure 3 Définition 2.. Soit : Ω un ouvert dans R R n contenant (t,x ). v : Ω R n continue. Supposons I B Ω. On appelle opérateur de Picard l application Remarque Γ : A E [ ] Γ(x) = t x + v(s,x(s))ds, t I t Γ est bien définie, car I B Ω, donc s v(s, x(s)) est continue pour x A. petite boite Ω B x x A I Figure 4 Théorème 2.2. (Cauchy-Lipschitz) Supposons (t;x) Ω v(t,x) R n, continue en (t,x) et localement Lipschitzienne en x. Alors,! solution locale au problème de Cauchy : dx dt = v(t,x(t)) x(t ) = x C est-à-dire : Pour (t ;x ) Ω, τ et une unique application x : I τ :=]t τ,t +τ[ R n vérifiant ce système d équations. Remarque. C est un résultat d existence et unicité sans pour autant donner une formule pour la solution. Bien souvent la solution est implicite et ne s exprime pas par des formules. Exemple. v continue ne suffira pas : Ω = R R, v(t,x) = 2 x n est pas Lipschitzienne. x() =, x est une solution mais pas unique. 6 a tangente b Figure 5 si a b, on peut définir une solution C : x(t) = (t b) 2,t b,a t b (t a) 2,t a Commençons la preuve de notre théorème. Comme v est continue, elle est en particulier localement bornée. Notre théorème se déduit de la proposition plus précise suivante (on aura besoin de cette version plus tard) : Proposition 2.3. (A) On peut choisir () un voisinage ouvert U de (t ;x ) sur lequel v est bornée et lipschitzienne en x, on pose L une constante lipschitzienne pour v et M une borne sup pour la norme de v : sup v(t,x) M +, v(t,x) v(t,x ) L x x, (t,x),(t,x ) U. (t;x) U (2) un τ assez petit tel que I τ B Mτ := [t τ,t +τ] B(x ;Mτ) U et L τ . (B) Pour un tel couple (U,τ) il existe une unique solution x(t) du problème de Cauchy. Elle est définie au moins sur l intervalle I τ := [t τ,t + τ], et son graphe sur I τ est inclus dans B Mτ := B(x ;Mτ). Démonstration. B Mτ x U 7 I τ t Figure 6 Avec ce choix on définit A = {x : I τ B Mτ continue} E = C (I τ ;R n ) et on rappelle que A, étant un fermé dans un espace de Banach, est un espace métrique complet avec d A (x,x 2 ) = sup t I τ x (t) x 2 (t) R n. Lemme 2.4. Γ : A A, c est-à-dire Γ(A) A. Démonstration. Puisque v est continue, Γx est une fonction continue en t. Reste à encadrer son graphe. Pour t I τ Donc Γx(I τ ) B Mτ. Γx(t) x = t v(s,x(s))ds t Mds = M t t Mτ t v(s,x(s)) ds Lemme 2.5. Γ est Lτ -Lipschitzienne, c est-à-dire Γx Γx 2 Lτ x x 2 pour tout x,x 2 A. Démonstration. Γx Γx 2 = sup Γx (t) Γx 2 (t) t I τ t I τ sup sup t I τ t v(s,x (s)) v(s,x 2 (s)) ds t L x (s) x 2 (s) ds L x x 2 sup t I τ t ds Lτ x x 2 Par le théorème de Picard,!x A tel que x = Γ(x). En plus. pour toute fonction x dans A, la suite des fonctions x n = Γx n converge uniformément vers la solution. Par Proposition 2., x est une solution au problème de Cauchy sur l intervalle I τ avec condition initiale x(t ) = x et elle est l unique solution dans A. Mais on veut montrer une unicité plus forte : toute solution définie dans I τ est forcément x(t) : Lemme 2.6. Supposons que x : I τ R n est une solution locale au problème de Cauchy, avec x(t ) = x. Alors, x A. 8 Démonstration. Sinon il y a par exemple t t t + τ avec x(t ) B Mτ, Soit t = inf{t t,x(t) B Mτ } (temps de la ère sortie. Donc pour tout s [t,t ], on a x(s) B Mτ et donc v(s,x(s)) M. alors x(t ) B x ici ẋ(t) M Figure 7 Mτ x(t ) x = v(s,x(s))ds M t t Mτ contradiction. Donc toute t solution est nécessairement dans A. Comme la solution dans A est unique. Il existe une unique solution. x t t x(t ) B Figure 8 3 Géométrie des équations différentielles, champs de vecteurs Rappel. si γ :I R R m est une courbec, alors γ (t) = d γ dt = lim γ(t+ t) γ(t) t t est la limite de vecteurs directeurs des droites sécantes, et est dont tangent (si ) à la courbe en γ (t). Ainsi si on trace le vecteur γ (t) au point γ(t) pour tout t, on voit apparaitre une famille de vecteurs tangents partout à la courbe. ( ) t Dans le cas particulier où γ prend la forme γ(t) =, elle est partout tangente x(t) ( ) aux vecteurs x. (t) 9 γ Dans un problème de Cauchy Figure 9 solution et champ de vecteurs { () dx dt = v(t,x(t)) (2) x(t ) = x L ouvert Ω R R n est le domaine de définition , ou l espace+temps de notre champ de vecteurs. ( ) La fonction v : Ω R n induit un champ de vecteurs , on peut le ( ) ( ) v(t, x) t représenter en traçant à chaque point Ω le vecteur. x v(t, x) Le couple (t ; x ) Ω est la condition initiale Le système (Cauchy) est dit autonome si v ne dépend pas de t. Dans ce cas v(x) est une fonction définie dans un ouvert U R n appelé l espace. Cette fonction induit un champ de vecteurs dans l espace x v(x). On peut le représenter en traçant en chaque point x U le vecteur v(x). Un système autonome est bien sur un cas particulier du système général. Réciproquement, un système non-autonome peut se transformer en un système autonome en ( ) ( ) s rajouter une dimension. Il suffit de poser X = et V(X) = pour obtenir x v(s, x) l ed Ẋ = V(X). Géométrie : Une solution x(t) du problème de ( Cauchy ) vérifie que x (t) = v(t,x(t)). t Dans l espace + temps, la dérivée de son graphe est d ( ) t, qui est aussi le ( ) ( ) x(t) dt x(t) t vecteur au point du champ de vecteurs dans l espace+temps induit v(t,x(t)) x(t) par v. Ainsi ( ) résoudre un problème de Cauchy revient à trouver une courbe ( ) paramétrée passant t pas et tangente partout au champ de vecteurs donné par (voir Figure 9). v x Exemple ) dx dt = x, x(t ) = x (dans R) solution x(t) = x e t t, t R Représentation graphique - en espace + temps - en espace (sans temps) que lorsque l équation ne dépend pas explicitement de t (autonome) x trajectoire ou orbite de la solution solution constante (t,x )condition initiale t d autres trajectoires Figure Espace-temps point équilibre/stationaire/fixe x Figure portrait de phase Exemple 2) dx = x( x). On dessine d abord le champ de vecteurs : à chaque point dt x, on dessine le vecteur v(x) = x( x). si x(t ) = 2 on s attend à ce que lim x(t) = et lim x(t) =. t + t x asympt verticale t c Figure 2 Pour Exemples 2 et 3 Solution par séparation de variable : x(t) = confirmée par la solution explicite.. Donc l observation est bien (+e t ) Exemple 3) ( Explosions en temps fini.) dx dt = x2, dx x 2 = dt, x = c t, x = c t. Exemple 4) (Domaine de définition, Problème aux bords) dx dt = t x, (t;x) R R + xdx+tdt =, x 2 +t 2 = constante solution maximale tangente verticale Figure 3 Pour Exemples 4 et 5 Exemple 5) En dimension 2 autonome d ( ) ( ) x x2 = = dt x 2 x comme champ de vecteurs v(t, ( ) x2 x) =. orbite périodique période T = 2π solution x x(t) = r ( cos(t c) sin(t c) ) ( )( x x 2 ), avec 4 Solution locale et maximale 2 Soient Ω R R n un ouvert connexe et v : Ω R n une fonction continue en (t,x) et localement Lipschitzienne en x. Définition 4.. Soit l équation différentielle( ) dx = v(t,x). On appelle solution locale dt à ( ) un couple (I,x) avec () I R intervalle ouvert et non-vide. (2) x : I R n, C avec (t,x(t)) Ω, t I qui vérifie ( ), t I. Attention. On ne parle plus de condition initiale ici. Définition 4.2. Soit (I,x) une solution locale. Une autre solution locale (J,y) est un prolongement de (I,x), si I J et y I = x. On dit que (I,x) est une solution maximale, si elle est une solution locale qui n admet pas de prolongement. Lemme 4.3. (recollement) Soit (I,x ) et (I 2,x 2 ) deux solutions locales qui se croisent, c est-à-dire qu il existe t I I 2 tel que x (t ) = x 2 (t ). Alors : x (t),t I \I 2 () x I I 2 = x 2 I I 2 et on obtient un prolongement avec(2)x(t) = x (t) ou x 2 (t), t I I 2 x 2 (t),t I 2 \I I (t,x ) impossible ok I 2 Figure 4 Démonstration. Si l on démontre () on a clairement (2). Preuve de (). Soit x (t ) = x 2 (t ), t I I 2. Notons E = {t I I 2 : x (t) = x 2 (t)}. Supposons que E I I 2, par exemple qu il y a t = inf{t t : x (t) x 2 (t)}. Alors x (t) = x 2 (t), t t t. Or x et x 2 sont continues x (t ) = x 2 (t ) = x et (t,x ) Ω. Par le Théorème de Cauchy-Lipschitz appliqué dans un voisinage de (t,x ), on sait qu il existe une unique solution locale sur ]t τ,t + τ[. Donc x (t) = x 2 (t), t ]t τ,t +τ[ ce qui contredit la définition de t. On pourrait aussi montrer que {t I I 2,x (t) = x 2 (t)} est un ouvert (par Cauchy- Lipschitz) et un fermé (car continue). Et on utilise la connexité dei I 2 pour conclure. 3 x 2 x t t Figure 5 Théorème 4.4. (Existence et unicité des solutions maximales). Soient Ω R R n un ouvert connexe et v : Ω R n une fonction continue en (t,x) et localement Lipschitzienne en x. Alors (t ;x ) Ω,! solution maximale au problème de Cauchy : ( ) dx = dt v(t,x), x(t ) = x. Autrement dit à tout point (t,x ) il existe une unique solution maximale passant par (t,x ). Démonstration. Soit {(I α,y α ) : α A} l ensemble des solutions locales (I α,y α ) de l équation dx dt = v(t,x) telle que t I α et y α (t ) = x. Soit I = α A I α (intervalle ouvert). Alors t I, I α tel que t I α. On définit x(t) y α (t). Le lemme du recollement assure que la fonction x(t) est bien définie (i.e. elle ne dépend pas du choix de α). Alors (I, x) est une solution locale qui contient toute autre solution locale du problème de Cauchy, donc non-prolongeable, donc maximale. Forcément I=]a,b[ avec a t b +. Cet ensemble est appelé l intervalle de temps de vie du problème de Cauchy. Remarque. Ce résultat est abstrait. Il ne donne pas de recette pour trouver l intervalle de temps de vie avec une condition initiale donnée. Exemple. Pour dx/dt = x 2, x() = ±. Quel est l intervalle de temps de vie pour chacune des solutions? Etudier dx/dt = x 2 +, x() =. Montrer que tous les cas d intervalles sont possibles. Théorème 4.5. (non accumulation interne) Soient Ω R R n un ouvert connexe et v : Ω R n une fonction continue en (t,x) et localement Lipschitzienne en x. Soit I l intervalle de temps de vie d une solution maximale x(t). Alors la courbe (t, x(t)) n a pas de points d accumulation dans Ω lorsque t tend vers un bord de I. Démonstration. Soit I =]a,b[. On suppose que (t n,x(t n )) tend vers un point limite dans Ω lorsque t tend vers b. Alors nécessairement ce point limite est de la forme (b,x ) et b +. On peut appliquer la Proposition 2.3 (A) au point (b,x ) pour trouver U Ω un voisinage de (b,x ) et v U M + et v(t,x) v(t,x ) L x x pour tout (t,x),(t,x ) U, et un τ tel que Lτ et ]b 2τ,b+2τ[ B(x,Mτ +τ) U. Pour toute condition initiale (t,x ) se trouvant dans ]b τ,b+τ[ B(x,τ), on a [t τ,t +τ] B(x,Mτ) ]b 2τ,b+2τ[ B(x,Mτ +τ) U. Proposition 2.3 (B), appliqué au triplet ((t,x ),U,τ), assure alors l existence d une solution locale de condition initiale (t,x ) définie (au moins) sur [t τ,t +τ]. Or pour n assez grand (t n,x(t n )) ]b τ,b[ B(x,τ). Recoller avec la solution locale de cette condition initiale on voit que x(t) est prolongeable au temps t n + τ b, ce qui contredit l hypothèse que la solution maximale n était pas définie au delà de b. 4 b+ τ 4 b Figure 6 5 Semi-continuité supérieure de temps de vie des solutions Théorème 5.. Soit Ω R R n un ouvert connexe. Soit v : Ω R n telle que v et v/ x sont continues en (t,x). Soit (I,y) une solution maximale passant par (t,x ) Ω. Soit K I un sous-intervalle compact. Alors, ε , δ tel que si x x δ alors la solution maximale (Ĩ,ỹ) qui passe par (t, x ) vérifie K Ĩ et sup t K y(t) ỹ(t) R n ε. Démonstration. Soit ε . Notons G = {(t,y(t)) : t K} graphe de y (sur K) l image continue d un compact. G compact. Or, Ω ouvert, donc r au voisinage de G dans Ω. Quitte à remplacer ε par min(ε, r) , on peut supposer que le voisinage tubulaire W = {(t,x) : t K, x y(t) R n ε} est inclus dans Ω. Par compacité L = sup (t,x) W v x +. Soient δ ε et x B(x,δ). On note (Ĩ,ỹ) la solution maximale qui passe par (t, x ). Pour simplifier, prenons t =,T ,K = [,T]. Soit u(t) y(t) ỹ(t) pour t I Ĩ( ). Pour t , t I Ĩ : u(t) = x x + v(s,y(s)) v(s,ỹ(s))ds δ + v(s,y(s)) v(s,ỹ(s)) ds. Si u(s) ε, s t on a v(s,y(s)) v(s,ỹ(s)) L y(s) ỹ(s) s t (par l inégalité d accroissements finis, car B(y(s),ε) est un convex) et 5 u(t) δ + Lu(s)ds Lemme de Gronwall = u(t) δexp(lt). Ω x ỹ ε t T T t Figure 7 Prenons δ εexp( LT). Alors la solution ỹ reste dans le voisinage tubulaire W t T. Sinon soit t T l inf des temps de sortie. On a par continuité ỹ(t ) y(t ) = ε et ε = sup t [,t ] y(t) ỹ(t) = sup t [,t ]u(t) δexp(lt ) δexp(lt) ε. Une contradiction. Ainsi sup y(t) ỹ(t) = sup u(t) δexp(lt) ε. t [,T] t [,T] 6 Comparaison 6 Théorème 6.. Soient A : R R + R + et v : R R n C C A(t, x ), et que R A(t, R) soit croissante. Soient α et β solutions respectives aux problèmes : dα dt = A(t,α(t)), t t t + α(t ) = R Alors le problème de Cauchy, dx dt = v(t,x(t)) x(t ) = x avec x R R n tels que v(t,x) dβ dt = A(t,β(t)), t t t β(t ) = R admet une solution maximale définie au moins sur ]t,t + [ et avec ( ) x(t) α(t) t t t + x(t) β(t) t t t Exemple. n =, dx dt = x2 cos(log(+x 2 )), x() =. α(t) = t v(t,x) = x 2 cos(log(+x 2 )) x 2 def A(t,x) ( t t + ), β(t) = +t (t t ). are solutions of α = A(t,α) and β = A(t,β) with A(t,u) = u 2 and α() = β() =. La fonction A(t,u) = u 2 étant croissante pour u , on a α(t) x(t) α(t), t ; β(t) x(t) β(t), t. Démonstration. Soit ]a,b[ l intervalle de temps de vie de x(t). Mettons t =. On traite d abord le cas x R. Supposons qu il existe t = inf{ t min{b,t + } : x(t) α(t)} Alors par continuité x(t ) = α(t ) et α(t ) = x(t ) = x + R + t v(s,x(s))ds x + A(s,α(s))ds = α(t ) A(s, x(s) )ds 7 solution maximale existe ici sur ]-,[ Figure 8 comment car x(s) α(s) sur ],t [ et A est croissante. Ceci conduit à une contradiction. Donc sur ]a,min{b,t + }[ on a x(t) α(t). Si b t + il y aurait une accumulation interne. On peut donc conclure que b t + et que la première inéqualité de (**) est vérifiée. Traitons à présent le cas x = R par approximations. En remplaçant R par R + δ, δ on obtient des solutions α δ et β δ qui convergent vers α et β, respectivement. Cette convergence est uniforme sur tout compact, par la semi-continuité supérieure de temps de vie. D où t t t +, x(t) liminfα δ (t) = α(t) et (idem pour β). D abord un exemple en dimension Figure 9 Voici un exemple en dimension 7 Convergence dans le cas autonome 8 Définition Soit v(x) un champs de vecteurs autonome lipschitzien. On dit que x est un point équilibre si v(x ) =. Lemme Si une solution x(t) vérifie que x (t ) = pour un certain t, alors x(t) x(t ) et c est un point équilibre. Preuve. La fonction y(t) x(t ) est une solution de l équation différentielle ẏ = v(y). On conclut par l unicité du Théorème de Cauchy-Lipschitz. On remarque que l escalier du diable ne peut jamais être solution d une équation différentielle lipschitzienne. Théorème 7.. Soient U R n ouvert et v : U R n un champ de vecteurs C autonome. Soit y : I R n une solution maximale de l équation ẏ = v(y) telle que I =]a,+ [ et lim y(t) = y U. t + Alors v(y ) =. Démonstration. On fixe un voisinage W de y dans lequel v est L-Lipschitzienne pour un certain L. Nous allons utiliser pour noter la norme euclidienne sur R n. Alors il existe t a tel que le bout de trajectoire {y(t),t [t,+ [} W. Soit ε . Nous allons montrer que v(y ) ε. Pour tout t t, y(t) y(t ) v(y ) (t t ) T.A.F. sup y (t) v(y ) (t t ) t t = sup v(y(t)) v(y ) (t t ) t t Lsup y(t) y (t t ) t t Ce calcul nous force de réduire W. Il existe W ε W tel que pour tout y W ε, L y y ε. Il existe alors T ε tel que pour tout t T ε, y(t) W ε. D où t T ε, en suivant le même calcul que ci-dessus, on a y(t) y(t ) v(y t t ) ε, et donc lim y(t) y(t ) t + v(y t t ) ε. y(t) y(t ) Or, lim = y y(t ) = car y(t) t + t t t y t + Donc v(y ) ε. Comme ε était arbitraire, on a v(y ) =. Exemple. ẋ = x( x), x() = /2. Notons la solution maximale par (J,x). Remarquons que y (t) est solution maximale, et y (t) en est une autre (quelles son
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