I Exercices I I I I I I I I I I I-2

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Chapitre 9 Équations de droites TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 09 Équations de droite s Table des matières I Exercices I I
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Chapitre 9 Équations de droites TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 09 Équations de droite s Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I-2 II Cours II-1 1 Deux types d équations de droites II-1 2 Déterminer l équation d une droite II-1 3 Droites parallèles II-3 4 Vérifier si un point appartient à une droite II-3 5 Points alignés II-3 6 Intersection de deux droites II-4 Chapitre 9 Équations de droites I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Tracer un repère (O, I, J) du plan et tracer les droites d équations (d 1 ) y = 2x 3 (d 2 ) y = 1, 5x (d 3 ) y = 2 Ces droites sont les représentations graphiques respectives des fonctions affines définies par les égalités suivantes : f 1 (x) = 2x 3 f 2 (x) = 1, 5x f 3 (x) = Dans le repère de l exercice précéent, placer les points A (3 ; 3) B (5 ; 7). y B y A 2. Calculer x B x A 3. À quoi correspond ce résultat? Tracer un repère (O, I, J) du plan et placer les points : A (2 ; 2) B (6 ; 4) C (1 ; 1) D (4 ; 4) E (3 ; 5) F (7 ; 5) 2. Déterminer l équation y = mx + p de la droite (AB) (a) graphiquement (b) par le calcul Explication pour calculer l ordonnée à l origine p : dans l équation y = mx + p, on remplace x et y par les coordonnées de A ou de B. 3. Mêmes consignes que 2a et 2b pour la droite (CD), puis pour la droite (EF). 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A(2 ; 1) B(3 ; 4) C (2 ; 1) D (4 ; 5) G( 3 ; 5) H( 3 ; 2) 2. Tracer la droite (AB), et déterminer son équation graphiquement, puis par le calcul. 3. Mêmes consignes pour la droite (CD). 4. Mêmes consignes pour la droite (GH). On constate qu il y a un problème. (a) Qu est ce que cette droite a de particulier par rapport aux précédentes? (b) Tous les points de la droite (GH) ont quelque chose en commun. Quoi? 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer les points : A(5 ; 2) B (5 ; 4) C ( 1 ; 5) D (1 ; 1) E( 4 ; 5) F ( 4 ; 1) 2. Tracer les droites (AB), (CD), (EF) et déterminer graphiquement des équations de ces droites. 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A( 2 ; 2) B(2 ; 3) C( 2 ; 0) 2. Calculer l équation de la droite (AB) 3. Tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par C. Quel est son coefficient directeur? 4. Calculer l équation de la droite (d). Chapitre 9 Équations de droites I EXERCICES page I Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A ( 1 ; 3) et B(2 ; 0) 2. Tracer la droite (d) d équation : y = 2x 1 3. Calculer les équations (a) de la droite (AB) ; (b) de la parallèle à (OJ) passant par A ; (c) de la parallèle à (OI) passant par A ; (d) de la parallèle à (d) passant par A. 1. Tracer un repère (O, I, J) du plan, et tracer les droites (d 1 ) d équation y = 3x + 5 et (d 2 ) d équation x = 3 ; placer les points A(1 ; 2) et B(3 ; 3). 2. (a) Le point A appartient-il à la droite (d 1 )? Justifier. (b) Même consigne pour le point B et la droite (d 1 ). 3. Même consigne pour les points A et B par rapport à la droite (d 2 ). 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer : A( 1 ; 2) B (1 ; 6) C ( 2 ; 1) D ( 2 ; 0) E(1 ; 3) F (1 ; 1) G (2 ; 5). 2. Les points A, B, C sont-ils alignés? Justifier. Indication : on peut calculer l équation de la droite (AB), puis vérifier si le point C appartientà la droite (AB) ou non. 3. Les points suivants sont-ils alignés? Justifier par des calculs. (a) A, B, C (b) B, E, F (c) B, E, G Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A( 1 ; 3) B(1 ; 2) C(2 ; 4) D(3 ; 7) 2. Calculer l équation de la droite (AD). 3. Vérifier si les points suivants sont alignés : (a) A, B, C (b) A, B, D. Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-1 II Cours 1 Deux types d équations de droites Remarque On sait qu une fonction affine est définie sous la forme f(x) = mx + p et que sa représentation graphique est une droite qui n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Propriété Dans un repère du plan, toute droite a une équation. Une droite parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme x = k. Une droite non parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p. Remarque : on apprend ultérieurement que toute droite du plan a une équation de la forme ax + by + c = 0 2 Déterminer l équation d une droite Remarques Soit f une fonction affine définie par f(x) = mx + p et représentée par une droite (AB). On sait que le nombre m est le coefficient directeur et que le nombre p est l ordonnée à l origine. On utilise le même vocabulaire pour les équations de droites. On sait aussi que m = f(x B) f(x A ). On a donc la propriété ci-dessous. x B x A Propriété Soit deux points distincts du plan A(x A, y A ) et B(x B, y B ) et m le coefficient directeur de la droite (AB), alors m = y B y A x B x A Exemple 1 : déterminer l équation réduite de la droite (AB) pour les points A(2 ; 1) B(3 ; 4) dans un repère (O, I, J). Figure voir figure 1 page suivante. 1 re méthode : déterminer l équation réduite par des calculs L équation réduite de la droite (AB), est sous la forme y = mx + p Calcul du coefficient directeur m : m = y B y A = 4 1 x B x A 3 2 = 3 1 = 3 L équation réduite de la droite (AB) est donc : y = 3x + p Calcul de l ordonnée à l origine p : on remplace x et y par les coordonnées de A(2 ; 1) dans l équation y = 3x + b 1 = b b = b = 1 b = 1 6 = 5 Donc l équation réduite de la droite (AB) est : y = 3x + ( 5) soit y = 3x 5 2 e méthode : déterminer l équation réduite graphiquement y = mx + p Coefficient directeur ; le long des flèches en pointillés qui relient les points A et B, on lit + 3 et + 1, donc : m = = 3 Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-2 Ordonnée à l origine ; à l intersection de la droite avec l axe des ordonnées (l axe vertical), on lit : p = 5 Équation réduite : y = 3x + ( 5) c est à dire y = 3x 5 Figure 1 4 B H J A O I G 5 6 Exemple 2 Soient les points G( 3 ; 5) H( 3 ; 2) dans le repère (O, I, J). Déterminons l équation de la droite (GH) Les deux points G et H ont la même abscisse : 3 Donc la droite (GH) est parallèle à l axe des ordonnées et une équation de la droite (GH) est x = 3. Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-3 3 Droites parallèles Deux droites d équations x = c et x = c sont parallèles Deux droites d équations x = c et y = mx + p sont sécantes Deux droites d équation y = mx + p et y = m x + p sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs m et m sont égaux. 4 Vérifier si un point appartient à une droite Exemple 1 Les points A(1 ; 2) et B(3 ; 3). appartiennent-ils à la droite (d 1 ) d équation y = 3x + 5? On effectue les calculs pour savoir si les coordonnées de chaque point vérifient l équation de la droite ou non. Point A 3 x A + 5 = = 2 = y A donc A (d 1 ) Point B 3 x B + 5 = = 4 3 donc B (d 1 ) Exemple 2 Les points A(1 ; 2) et B(3 ; 3) appartiennent-ils à la droite (d 2 ) d équation x = 3? Dans ce cas, on n effectue aucun calcul. Point A : l abscisse de A est x A = 1 donc A (d 2 ). Point B : l abscisse de B est x B = 3 donc B (d 2 ). 5 Points alignés On considère trois points A, B, C disjoints deux à deux dont on connaît les coordonnées dans un repère. Comment démontrer si ils sont alignés ou non? Si les trois points ont la même abscisse, ils sont alignés. Si deux points ont la même abscisse et si le troisième a une abscisse différente, alors ils ne sont pas alignés. Si les abscisses des 3 points sont distinctes deux à deux trois méthodes sont possibles calculer l équation de la droite (AB) et vérifier si le point C appartient à la droite (AB) ; calculer les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC) et comparer ; vérifier si les vecteurs AB et AC sont colinéaires ou non (cela sera traité dans un autre chapitre). Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-4 6 Intersection de deux droites Ce paragraphe sera complété ultérieurement.
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