MATHS Rappels Equations Différentielles

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INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Equations Différentielles Jean-Pierre Bourgade Pascal Floquet Première Année à Distance Septembre 2011 Xuân Meyer 2 Table des matières 3 Equations
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INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Equations Différentielles Jean-Pierre Bourgade Pascal Floquet Première Année à Distance Septembre 2011 Xuân Meyer 2 Table des matières 3 Equations Différentielles Définition générale Equations différentielles du 1er ordre Equations à variables séparables Equation différentielle linéaire à coefficients constants Equation homogène Equation avec second membre Equations différentielles linéaires à coefficients non constants Equations différentielles homogènes en x et y Equations différentielles du second ordre Equations du 2 nd ordre se ramenant au 1 er ordre Equations du type : F(x,y,y )= Equations du type : F ( y, y, y ) = Equations du type : F ( x, y, y, y ) = 0 homogène en y,y,y Equations linéaires homogènes à coefficients constants Equations linéaires à coefficients constants avec second membre cas particuliers : f(x) est polynôme de degré n cas particuliers : f = Ke αx cas particuliers : f = e αx P(x) cas particuliers : f(x) = Ksin(ax) ou f(x) = Kcos(ax) 4 TABLE DES MATIÈRES Chapitre 3 Equations Différentielles Ce document s intéresse à la solution des équations différentielles du premier et second ordre. Nous débuterons en donnant la définition générale d une équation différentielle d ordre n. Puis, nous étudierons plus particulièrement les solutions des équations du premier ordre, puis celle du second ordre. Pour chaque cas présenté un exemple illustratif est donné et résolu. 3.1 Définition générale On appelle équation différentielle d ordre n, n N,une équation de la forme : n k=0 avec : y la fonction cherchée b(x) est appelé second membre de l équation a k (x) des fonctions de x et a n 0. a k (x) dk y dxk(x) = b(x) Si les fonctions a k sont des constantes, alors on dit que l équation différentielle est à coefficients constants. On rappelle que d 0 y dx 0(x) = y Dans la suite, on notera y (x) la dérivée première de y par rapport à x y (2) ou y la dérivée seconde de y par rapport à x. y (n) la dérivée n ième de y par rapport à x L équation différentielle sera dite homogène si et seulement si b(x) = 0. L équation différentielle sera dite normalisée si et seulement si a n (x) = 1. La résolution de l équation homogène suppose la détermination densolutions indépendantesy 1,y 2,...,y n formant une base du sous-espace vectoriel des solutions. Ainsi, il faudra déterminer autant de solutions que l ordre de l équation, la solution générale étant une combinaison linéaire de ces solutions, y(x) = n α k (x)y k (x) k=0 La solution des équations peut être explicite, dans ce cas on obtient une relation du type y = g(x) ou x = h(y) mais elle peut être implicite et conduire à une relation du type F(x,y) = 0. 6 Equations Différentielles 3.2 Equations différentielles du 1er ordre Equations à variables séparables Une équation différentielle est dite à variables séparables si on peut l écrire sous la forme : ϕ(x)dx = ψ(y)dy On intègre alors chacun des côtés en considérant les variables indépendantes : ϕ(x)dx = ψ(y)dy +C où C est une constante réelle. Exemple 3.1: Résoudre l équation (E1) : x+yy = 0 avec y = dy dx (E1) peut s écrire sous la forme : x+y dy dx = 0 On peut séparer les variables en écrivant l équation sous la forme : (E1) ydy = xdx puis intégrer : ydy = xdx soit 1 2 y2 = 1 2 x2 +K où K est une constante réelle d où la solution de (E1) : où C est une constante réelle x 2 +y 2 = C Equation différentielle linéaire à coefficients constants On cherche les solutions aux équations du type : dy dx (x)+a 0y(x) = b(x) où a 0 et sont des constantes réelles et 0. Nous débuterons par l étude des équations homogènes (i.e. avec un second membre nul). Puis en utilisant les résultats, nous verrons comment résoudre les équations avec second membre Equation homogène Soit l équation à résoudre : dy dx (x)+a 0y(x) = 0 où a 0 et sont des constantes réelles et 0. Supposons que y(x) 0, x alors, nous pouvons écrire : y (x) y(x) + a 0 = 0 y (x) y(x) = a 0 3.2 Equations différentielles du 1er ordre 7 Intégrons par rapport à x. La primitive du membre de gauche est : ln y(x) +A, donc nous obtenons : ln y(x) = a 0 x+b où B est une constante réelle qui tient compte des constantes d intégration des deux membres. Prenons l exponentielle de la relation précédente, on obtient : Or e α+β = e α e β, d où : y(x) = e a 0 x+b y(x) = e B e a 0 x e B est une constante réelle positive. Soit K cette constante. On a alors : y(x) = ±Ke a 0 x L expression ±K représente une constante positive ou négative, notons C cette constante réelle. On a alors : y(x) = Ce a 0 a x 1 Nous obtenons donc une famille de fonctions. La constante C pourra être calculée pour répondre à un cas précis à partir, par exemple,d une condition particulière du type : y(x 1 ) = D. Exemple 3.2: Résoudre l équation (E2) : y (x)+y(x) = 0 (E2) 1. en prenant la condition y(0) = 1 2. en prenant la condition y(2) = 3 2 Solution : Partons de l équation différentielle : y (x)+y(x) = 0 en supposant que y(x) 0, x, nous pouvons diviser cette équation par y(x), La constante C dépend de la condition initiale : y (x) y(x) +1 = 0 y (x) y(x) = 1 y(x) = e x+a y(x) = Ce x 1. pour y(0) = 1, on obtient C = 1, soit y(x) = e x 2. pour y(2) = 3 2, on obtient C = 3 2 e2, soit y(x) = 3 2 e2 x Equation avec second membre L équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec second membre s écrit : où a 0 et sont des constantes réelles et 0. dy dx (x)+a 0y(x) = b(x) La méthode de résolution se décompose en deux points : 8 Equations Différentielles 1. on résoud l équation homogène : la solution générale est de la forme : y(x) = Ce a 0 x, 0,C R 2. On considère que la constante C dépend de x (d où le nom de la méthode : méthode de la varaition de la constante), y(x) = C(x)e a 0 x Appliquons cette méthode sur le cas général. Puisque l équation différentielle fait intervenir la dérivée première, prenons la dérivée de l expression précédente : y (x) = C (x)e a 0 x a 0 C(x)e En injectant cette expression dans l équation différentielle à résoudre, nous obtenons : ( C (x)e a 0 a x 1 a 0 C(x)e a 0 ( a x 1 )+a ) 0 C(x)e a 0 a x 1 = b(x) En intégrant, on obtient : C (x)e a 0 x = b(x) C(x) = C (x) = b(x) e a0 x b(t) e a0 t dt+d Si on peut calculer explicitement cette intégrale, on en déduit la forme générale de la solution : ( ) b(t) y(x) = e a0 a t 1 dt+d e a 0 a x 1 La valeur de D est obtenue à partir d une condition aux limites. Exemple 3.3: Résoudre l équation (E3) : a 0 x y (x)+y(x) = 1 (E3) avec la condition initiale y(0) = 2 L équation homogène associée est : y (x)+y(x) = 0 Sa solution a été déterminée dans l exemple précédent, nous avons donc : y(x) = Be x Supposons à present que B dépend de la variable x. On a alors :y(x) = B(x)e x. y (x) = B (x)e x B(x)e x En injectant ces expressions dans l équation différentielle, nous obtenons : Soit : Une primitive particulière de e x peut s écrire : B (x)e x B(x)e x +B(x)e x = 1 B (x)e x = 1 B (x) = e x e t dt 3.2 Equations différentielles du 1er ordre 9 Un calcul simple donne : e t dt = e x d où B(x) = e x +C L expression générale de la solution de l équation différentielle est donc : y(x) = [e x +C]e x = 1+Ce x La constante C peut être calculée à partir de la condition initiale y(0) = 2. On obtient alors : y(0) = 1+Ce 0 = 1+C d où C = 1. La solution est donc : y(x) = 1+e x Equations différentielles linéaires à coefficients non constants On considère ici les équations du type A(x)y +B(x)y = f(x) où A(x), B(x) et f(x) sont des fonctions de la variable réelle x. La procédure d intégration est semblable à celle suivie pour résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants et se déroule donc en 2 étapes : 1. intégration sans second membre : A(x)y 1 +B(x)y 1 = 0 On résoud l équation différentielle à variables séparables : dy 1 y 1 = B(x) A(x) dx on obtient alors une solution du type y 1 = Ce u(x) B(x)dx où u(x) = et C est une constante réelle. A(x) 2. intégration de l équation complète : méthode de la variation de la constante On recherche une solution particulière de l équation avec second membre de la forme : y 2 = C(x)e u(x) On considère donc maintenant C comme une fonction de x (et non plus comme une constante) et on cherche à déterminer C(x) telle que : y 2 = C(x)e u(x) soit solution de l équation différentielle avec le second membre. 3. solution de l équation complète Sachant que siy 1 (x) est une solution de l équation sans 2 nd membre ety 2 (x) une solution particulière de l équation complète alors y(x) = y 1 (x) + y 2 (x) est solution de l équation complète, la solution de l équation avec second membre s écrit : où K est une constante réelle. y = e u(x) (K +C(x)) 10 Equations Différentielles Exemple 3.4: Déterminer l ensemble des solutions de l équation différentielle (E4) : y + 2x (1+x 2 ) y = 1 2x Ici A(x) = 1, B(x) = (1+x 2 et f(x) = 1 ) 1. Résolution de l équation homogène(sans second membre) On cherche dans un premier temps la fonction y 1 (x) telle que : y + 2x (1+x 2 ) y = 0 (E4) soit Cette équation peut s écrire : dy 1 dx + 2x (1+x 2 ) y 1 = 0 dy 1 y 1 = 2xdx (1+x 2 ) On peut effectuer une intégration à variables séparées. D où : ln y 1 = ln(1+x 2 )+K K, constante réelle, peut s écrire K = ln(c)où C est une constante réelle, d où or ln(a) ln(b) = ln( a b ) d où : ln y 1 = ln(1+x 2 )+ln(c) ln y 1 = ln C 1+x 2 y 1 (x) = C est solution de l équation sans second membre 1+x2 2. Recherche d une solution particulière de l équation On cherche une solution particulière de la forme y 2 (x) = C(x) 1+x 2. y 2 s écrit alors : y 2 = C (x) 1+x 2 2xC(x) (1+x 2 ) 2 L équation à résoudre devient : d où soit C (x) 1+x 2 2xC(x) (1+x 2 ) 2 + C (x) = 1+x 2 2x C(x) (1+x 2 )(1+x 2 ) = 1 C(x) = x+ x3 3 +K où K est une constante réelle. Dans la mesure où l on recherche une solution particulière, on peut poser K = 0. Une solution particulière de l équation différentielle est donc : y 2 (x) = 3x+x3 3(1+x 2 ) La solution générale de l équation s écrit y = y 1 +y 2 où C est une constante réelle. y = 3x+x3 +C 3(1+x 2 ) 3.2 Equations différentielles du 1er ordre 11 Exemple 3.5: Déterminer l ensemble des solutions de l équation différentielle (E5) : xy y = x x 2 1 Ici A(x) = x, B(x) = 1 et f(x) = x x Résolution de l équation homogène(sans second membre) (E5) On cherche dans un premier temps la fonction y 1 (x) telle que : soit Cette équation peut s écrire : xy 1 y 1 = 0 x dy 1 dx y 1 = 0 dy 1 y 1 = dx x On peut effectuer une intégration à variables séparées. D où : ln y 1 = ln(x)+k K, constante réelle, peut s écrire K = ln(c)où C est une constante réelle, d où ln y 1 = ln(x)+ln(c) or ln(a)+ln(b) = ln(ab) d où : ln y 1 = ln(xc) y 1 (x) = C.x est solution de l équation sans second membre 2. Recherche d une solution particulière de l équation On cherche une solution particulière de la forme y 2 (x) = xc(x). y 2 s écrit alors : y 2 = xc (x)+c(x) L équation à résoudre devient : d où soit x[xc (x)+c(x)] xc(x) = x x 2 1 C (x) = C(x) = 1 x(x 2 1) dx x(x 2 1) Cette intégrale se calcule en décomposant la fraction rationnelle On obtient alors : C(x) = dx x(x 2 1) = 1 x + 1 2(x 1) + 1 2(x+1) ( 1 ) dx+ x dx 2(x 1) + dx x(x 2 1) dx 2(x+1) C(x) = ln x ln x ln x+1 +K où K est une constante réelle. Cette fonction peut s écrire : C(x) = ln x ln x 2 1 +K en éléments simples, 12 Equations Différentielles Pour une solution particulière, on peut prendre K=0. Une solution particulière de l équation différentielle E5 est donc : y 2 (x) = x [ ln x + 12 ln x 2 1 ] +K La solution générale de l équation s écrit y = y 1 +y 2 [ y = x ln x ln x 2 1 ] +K +λx où λ est une constante réelle Equations différentielles homogènes en x et y On appelle équations différentielles homogènes en x et y les équations différentielles qui peuvent se mettre sous la forme : ( y y = ϕ x) Dans ce cas, on pose : y = u(x).x et on cherche à déterminer la fonction u(x) qui vérifie : du x+u(x) = ϕ(u) dx Cette équation différentielle est une équation différentielle à variables séparables (voir page 6). Exemple 3.6: Déterminer la forme générale de la solution de l équation (E6) : xy 2y +x = 0 (E6) L équation (E3) peut s écrire : y = 2 y x 1 On pose y = x.u(x) soit y = u(x)+xu (x) et (E3) s écrit alors : du x+u(x) = 2u(x) 1 dx d où du u(x) 1 = dx x soit où C est une constante réelle. On obtient alors : où C est une constante réelle ln u 1 = ln x +K u(x) 1 = Cx y = Cx 2 +x 3.3 Equations différentielles du second ordre Equations différentielles du second ordre Equations du 2 nd ordre se ramenant au 1 er ordre La résolution de certaines équations différentielles du 2 nd ordre peut, par un changement de fonction ou de variable simple, se ramener à la résolution successive de deux équations différentielles du 1 er ordre Equations du type : F(x,y,y )=0 Si y n intervient pas explicitement dans l équation différentielle, on pose : On obtient alors équation du 1 er ordre en z : z = y F(x,z,z ) = 0 que l on résoud suivant les principes énoncés précédemment. Il faut ensuite intégrer z(x) pour déterminer y. Exemple 3.7: Résoudre l équation différentielle du second ordre(e7) y n intervient pas explicitement dans (E7), on pose : soit (E4) devient : y = 1 a 1+y 2 (E7) y (x) = z(x) y (x) = z (x) z = 1 a 1+z 2 On est en présence d une équation différentielle à variables séparables : dz 1+z 2 = 1 a dx dz 1+z 2 = 1 a dx Posons I = dz L intégrale I s obtient en posant z = sht soit dz = chtdt 1+z 2 dz I = = chtdt chtdt 1+z 2 1+sh2 t = = dt = t+c cht où C est une constante réelle. d où : où K est une constante réelle Arcsh(z) = 1 a x+k z(x) = sh( 1 a x+k) Pour déterminer y(x), il faut intégrer z(x) par rapport à x : y(x) = z(x)dx = sh( 1 ( x )+λ a x+k)dx = ach a +K La solution de (E7) est donc : où K et λ sont deux constantes réelles. ( x ) y(x) = ach a +K +λ 14 Equations Différentielles Equations du type : F ( y, y, y ) = 0 Si x n intervient pas explicitement dans l équation différentielle, on pose : On a alors : L équation différentielle F(y,y,y ) = 0 devient : z(y) = y y = dz dx = dz dy dy dx = zdz dy F(y,y,z dz dy ) = 0 équation différentielle du 1 er ordre de la variable y. On détermine donc z(y) puis on résoud l équation différentielle du 1 er ordre : dy dx = z(y) Exemple 3.8: Résoudre l équation différentielle du second ordre(e8) x n intervient pas explicitement dans (E8), on pose : 1+y 2 = yy (E8) y = z(y) soit (E5) devient : d où où λ est une constante réelle. où C est une constante réelle. soit y = dz dx = dz dy dy dx = zdz dy 1+z 2 = yz dz dy zdz dy 1+z 2 = y 1 2 ln 1+z 2 = ln y +λ 1+z 2 = C 2 y 2 z = ± C 2 y 2 1 Pour déterminer y(x), il faut encore intégrer : y = ± C 2 y 2 1 Soit : dy C2 y 2 1 = ±dx En effectuant le changement de variable C.y = cht, on intègre facilement le membre de gauche, ce qui conduit à : où K et C sont des constantes réelles. y = 1 C ch(±c(x+k)) 3.3 Equations différentielles du second ordre Equations du type : F ( x, y, y, y ) = 0 homogène en y,y,y Si F(x,y,y,y ) = 0 est homogène en y,y,y, on peut la mettre sous la forme : G(x, y y, y y ) = 0 et l on prend y y comme nouvelle fonction inconnue. On a : et p(x) = y y dp(x) = y y y 2 y 2 Il faut donc résoudre G(x,p,p 2 + dp dx ) = 0 équation différentielle du 1 er ordre. Après avoir déterminé p(x), il suffit de résoudre l équation du 1 er ordre : y (x) = y(x)p(x) Equations linéaires homogènes à coefficients constants On cherche ici à déterminer la solution des équations différentielles du type : où a,b et c sont des constantes et a 0. On cherche une solution du type : ay +by +cy = 0 y = e rx Le développement de l équation différentielles avec cett fonction y, conduit à l équation caractéristique : ar 2 +br +c = 0 Suivant le signe du discriminant ( = b 2 4ac ) les solutions sont : 0 : on a deux racines réelles : r 1 et r 2 y = C 1 e r1x +C 2 e r2x 0 : on a deux racines imaginaires conjuguées : r 1 = α+βj et r 2 = α βj = 0 : on a une racine réelle double : r y = C 1 e r1x +C 2 e r2x = e αx [Acos(βx)+Bsin(βx)] y = e rx (C 1 x+c 2 ) Dans tous les cas, les constantes C 1 et C 2 seront fixées par les conditions initiales. Exemple 3.9: Résoudre l équation différentielle du second ordre(e9) y (x)+y(x) = 0 (E9) avec les conditions : { y(0) = 1 y (0) = 0 l équation caractéristique associée à cette équation est : r 2 +1 = 0 16 Equations Différentielles Le discriminant ( = 4 = (2j) 2 ) est négatif et cette équation admet deux racines complexes :r 1 = j et r 2 = j. La solution de l équation est donc : qui peut s écrire sous la forme : y(x) = Ae jx +Be jx y(x) = Ccos(x)+Dsin(x) On détermine les constantes réelles C et D grâce aux conditions aux limites. Pour cela il faut calculer la dérivée de y, y (x) = Csin(x)+Dcos(x) Soit : { y(0) = C = 1 y (0) = D = 0 La solution recherchée est donc :y(x) = cos(x) Exemple 3.10: Résoudre l équation différentielle du second ordre(e10) y (x) y(x) = 0 { y(0) = 0 y (0) = 1 l équation caractéristique associée à cette équation est : r 2 1 = 0 (E10) Le discriminant ( = 4) est positif et cette équation admet deux racines réelles : r 1 = 1 et r 2 = 1. La solution de l équation est donc : y(x) = Ae x +Be x On détermine les constantes réelles A et B grâce aux conditions aux limites. Pour cela il faut calculer la dérivée de y, y (x) = Ae x Be x Soit : { y(0) = A+B = 0 y (0) = A B = 1 d où A = 1 2 B = 1 2 La solution recherchée est donc : y(x) = 1 2 (ex e x ) Exemple 3.11: Résoudre l équation différentielle du second ordre(e11) y (x)+2y (x)+y(x) = 0 (E11) avec les conditions : { y(0) = 1 y(1) = 0 l équation caractéristique associée à cette équation est : r 2 +2r +1 = 0 Le discriminant ( = 0) est nul et cette équation admet une racines double : r = 1. La solution de l équation est donc : y(x) = (Ax+B)e x On détermine les constantes réelles A et B grâce aux conditions aux limites. Soit : { { y(0) = B = 1 A = 1 y(1) = (A+B)e 1 = 0 B = 1 y(x) = (1 x)e x 3.3 Equations différentielles du second ordre Equations linéaires à coefficients constants avec second membre On cherche ici à déterminer la solution des équations différentielles du type : ay (x)+by (x)+cy(x) = f(x) où a, b et c sont des constantes, et a 0. La méthode de résolution se décompose en deux points : 1. On résoud l équation homogène. On obtient la solution générale : y 1 2. On recherche une solution particulière de l équation avec second membre : y 2 La solution générale de l équation est alors : y(x) = y 1 (x)+y 2 (x) Nous présentons ci-après la forme des solutions particulières pour quelques cas particuliers de fonctions f(x). Nous précisons deux règles qui permettent de trouver les solutions particulières dans quelques cas supplémentaires. Règle 1 : Si l équation caractéristique possède une racine d ordre p et si le second membre f(x) contient un terme du type x k u(x) où u(x) est une des fonctions génératrices de la solution de l équation sans second membre issue de cette racine, alors une solution particulière y 2 (x) sera une combinaison linéaire de x k+p u(x) et de ses dérivées linéairement indépendantes. Règle 2 : si f(x) est combinaison linéaire des cas particuliers présentés ci-après, la solution particulière recherchée est une combinaison linéaire des solutions particulières proposées pour chacun des cas cas particuliers : f(x) est polynôme de degré n Si f(x) est un polynôme de degré n et c 0 et b 0, on peut montrer qu une solution particulière est un polynôme de même degré. Si f(x) est un polynôme de deg
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