Soit x la distance entre les points O et P. La distance entre le bateau et le point P est par conséquent de x km (Pythagore) et la distance

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Problème 1 Un bateau est ancré à 9 km du point le plus proche d une côte rectiligne. Un message doit parvenir au plus vite à une localité située sur la côte à 15 km du point O de la berge le plus proche
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Problème 1 Un bateau est ancré à 9 km du point le plus proche d une côte rectiligne. Un message doit parvenir au plus vite à une localité située sur la côte à 15 km du point O de la berge le plus proche du bateau. Le messager parcourt 4 km à l heure à pied et 3 km à l heure en canot. O 15 km berge P localité 9 km bateau a) En quel point P de la berge doit-il accoster pour arriver le plus rapidement à la localité? b) Si notre homme quitte le bateau à midi et que le message doit être livré avant 17h45, croyez-vous que cela est possible? Soit la distance entre les points O et P. O P 15 km 15 - localité La distance entre le bateau et le point P est par conséquent de km (Pythagore) et la distance 9 km entre le point P et la localité de (15 - ) km. bateau Soit maintenant T le temps que prendra le messager pour atteindre la localité. Puisqu'il se déplace en canot à la vitesse de 3 km/h et qu'il marche à la vitesse de 4 km/h, on a T = (15 - ) Le domaine de T correspond à l'intervalle [ 0, 15 ]. 1. Appuyez sur la touche Y= pour définir la fonction dans l éditeur. 2. Appuyez sur WINDOW puis donnez à Xmin la valeur 0 et à Xma la valeur 15. 3. Choisissez ZOOM 0 pour fier l'étendue de la variable Y entre le minimum et le maimum de la fonction sur [ 0, 15 ]. 4. Après quelques secondes, le graphique s'affiche sur l'intervalle choisi. 5. Pour obtenir le minimum, appuyez sur 2nd [CALC] afin d'afficher le menu CALCULATE puis sélectionnez 3:minimum dans ce menu. 6. Répondez au différents messages que la TI-83 Plus renvoie. Si le messager veut atteindre la localité en un temps minimal, il devra accoster à 10,2 km du point O et le temps qu'il prendra pour atteindre la localité sera de 5,73 h ou environ 5h44min. Il atteindra donc la localité avant 17h45. Eercices 1. Soit ƒ'() = a) Tracer le graphique de ƒ'(). b) Trouver les nombres critiques de ƒ(). c) Sur quel intervalle ƒ() est-elle croissante? d) Sur quel intervalle ƒ() est-elle décroissante? e) Pour quelle(s) valeur(s) de, la fonction ƒ() passe-t-elle par un minimum relatif? f) Pour quelle(s) valeur(s) de, la fonction ƒ() passe-t-elle par un maimum relatif? 2. Soit ƒ''() = a) Tracer le graphique de ƒ''(). b) Trouver les nombres de transition de ƒ(). c) Sur quel intervalle, le graphique de ƒ() est-il concave vers le haut? d) Sur quel intervalle, le graphique de ƒ() est-il concave vers le bas? e) Pour quelle(s) valeur(s) de, le graphique de ƒ() passe-t-il par un point d'infleion? 3. Soit ƒ() = ( 2 + 1) 1 a) Tracer le graphique de ƒ''() en prenant comme étendue l'intervalle [-2, 2] sur les deu aes. b) À l'aide du graphique précédent, estimer la valeur des nombres de transition de ƒ(). 4. Estimer la valeur (si elle eiste) des limites suivantes. a) lim 0 ln( + 1) b) lim (1 - e2/ ) 5. Deu des s d'un rectangle reposent sur l'ae des et l'ae des y. Un des sommets du rectangle touche le graphique de y y = comme sur la figure de droite. a) Quelle est l'aire du rectangle lorsque sa base tend vers 0? b) Tracer le graphique de A' où A correspond à l'aire du rectangle. y = c) À l'aide du graphique de A', trouver pour quelle valeur de l'aire A du rectangle sera minimale? 6. D après un modèle sur la croissance de la population mondiale, on estime que dans t années après 1975, le nombre d habitants sur le globe sera d environ Selon ce modèle, N = e -0,0278t milliards d habitants a) en quelle année la population mondiale ateindra-t-elle 10 milliards d habitants? b) quel est le tau de croissance de la population mondiale présentement en 2001? c) en quelle année le tau de croissance de la population mondiale sera-t-il maimal? 7. Quelles sont les coordonnées du point (, y) sur la courbe d'équation y = le plus près du point (1, 1)? 8. Une particule se déplace du point A(1, 0) vers le point B(0, 1) en passant par le point C(,y) situé dans le premier quadrant sur la courbe d'équation y = 5-3. Quelle est l'abscisse du point C pour laquelle la distance sera minimale? B C y = 5-3 A 9. Plier une feuille de format 38 cm 15 cm de façon à former une boîte avec un couvercle comme sur la figure du bas. Quel est le volume maimal de la boîte pouvant être ainsi obtenu? fond couvercle 15 cm 38 cm Réponses 1. a) b) { -2, -5/4, 0, 1 } c) ] -, -2 [ ] -5/4, 0 [ ] 1, [ d) ] -2, -5/4 [ ] 0, 1 [ e) { -5/4, 1 } f) { -2, 0 } 2. a) b) { -1, 1/2 } c) ] 1/2, [ d) ] -, 1/2 [ e) { 1/2 } 3. a) b) { -0,309 } 4. a) 0,25 b) a) 2,25 ou 9/4 b) c) = 0, a) en 2057 b) 0,08338 milliards d'habitants / année c) en (1,89 ; 0,68) 8. = 1,467 longueur: 15,69 cm 9. volume maimal : 435,21 cm 3 profondeur: 8,38 cm hauteur est 3,31 cm
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