Théorie des machines thermiques

héori ds machins thrmiqus I 7 éfrigératur trithrm, d'après concours Icar 997 ) Définir la notion d machin thrmiqu dans l langag d la thrmodynamiqu ) applr sans démonstration l théorèm d arnot régissant

héori ds machins thrmiqus I 7 éfrigératur trithrm, d'après concours Icar 997 ) Définir la notion d machin thrmiqu dans l langag d la thrmodynamiqu ) applr sans démonstration l théorèm d arnot régissant l rndmnt d un motur dithrm ) Montrr qu'un réfrigératur dithrm chargé d rtirr réllmnt d la chalur à un sourc froid doit nécssairmnt rcvoir du travail 4) alculr son cofficint d fficacité s il st révrsibl u put-on n dir s il fonctionn irrévrsiblmnt? 5) A présnt, on étudi un réfrigératur dit «à absorption», n nécssitant pas d travail, mais échangant d la chalur avc trois thrmostats,, d tmpératurs différnts t fixs, t tlls qu L thrmostat st un sourc chaud obtnu n brûlant du butan L thrmostat st l miliu ambiant L réfrigératur st dstiné à rtirr d la chalur à la sourc froid d tmpératur A partir ds princips d la thrmodynamiqu, établir l sns ds échangs d chalur ntr l réfrigératur t ls dux autrs sourcs 6) Montrr qu l'fficacité d c réfrigératur put êtr défini par / où t sont ls quantités d chalur fournis rspctivmnt par ls sourcs d chalur d tmpératurs t 7) ull st, n fonction d, t, la valur maximal d ctt fficacité? 8) Montrr qu ctt fficacité maximal put s mttr sous la form du produit du rndmnt d un motur dithrm par l'fficacité d'un réfrigératur dithrm ; définir ls tmpératurs ds sourcs d cs dux machins ; qu put-on dir ds travaux qu lls rçoivnt? II 5 ) Un motur thrmiqu st constitué par un fluid, l agnt thrmiqu, qui circul ntr différnts organs d façon stationnair ; c fluid n rçoit qu trois typs d énrgi : du travail, un quantité algébriqu d chalur d un sourc d tmpératur fix supériur à la tmpératur ambiant t un autr quantité algébriqu d chalur d un sourc d tmpératur fix égal à la tmpératur ambiant a) En appliquant ls princips d la thrmodynamiqu, donnr dux rlations ntr,,, t b) Démontrr ls signs ds trois échangs d énrgi c) applr la définition d l'fficacité thrmodynamiqu ε d ctt machin dithrm d) Démontrr son xprssion n fonction d t n supposant l fonctionnmnt révrsibl ) Démontrr un inégalité satisfait par ε pour un motur rél ) En réalité, ls transformations subis par l agnt thrmiqu dans la machin sont révrsibls La parti d la machin n contact avc l thrmostat d tmpératur st à la tmpératur t cll n contact avc l thrmostat d tmpératur st à la tmpératur a) A qulls conditions l fonctionnmnt complt st-il révrsibl? b) Ls puissancs thrmiqus fournis par ls thrmostats sont ( ) t ( ) ul st l inconvénint pratiqu d un fonctionnmnt révrsibl? c) our,, fixés, la puissanc mécaniqu t ls tmpératurs t varint slon un réglag d la machin, qui laiss son fonctionnmnt intrn révrsibl Montrr qu d) Exprimr la puissanc mécaniqu produit par l motur f ) ) Dans qul intrvall put varir, la machin fonctionnant n motur? d f) Un calcul qu on n dmand pas d fair montr qu ls racins d d sont l tablau d variation d avc, la machin fonctionnant n motur III 6 ) Soit dux nombrs positifs dont l produit st détrminé Montrr qu la somm d cs dux nombrs st minimal lorsqu ils sont égaux ) Un fluid dit primair F sort d un réactur nucléair à la tmpératur absolu 6 K, puis pénètr à ctt mêm tmpératur dans un échangur thrmiqu, où il cèd d la chalur à un fluid dit scondair F ; il rssort d l échangur à la tmpératur absolu t rtourn dans l réactur nucléair Un échangur ( ± Donnr réactur nucléair thrmiqu st un apparil dont l sul rôl st d mttr n contact thrmiqu dux fluids t d lur prmttr d échangr d la chalur On raisonn dans tout c problèm sur un mass unité d fluid F, dont la capacité thrmiqu c Jg K st un constant indépndant d la tmpératur Exprimr la quantité d chalur q rçu par l fluid F dans l échangur thrmiqu n fonction d c t ds tmpératurs F échangur F DS : théori ds machins thrmiqus, pag ) L fluid scondair F st l agnt d un motur thrmiqu qui n échang d la chalur qu avc l fluid primair t avc l miliu ambiant d tmpératur fix K L fluid F a ls mêms échangs d travail t d chalur qu un motur dithrm révrsibl échangant d la chalur avc l échangur thrmiqu considéré comm un sourc d tmpératur fix t avc l miliu ambiant d tmpératur fix Exprimr l travail w produit par c motur n fonction d c,, t 4) ommnt faut-il choisir pour qu w soit maximum, c, t étant fixés? 5) tt solution rprésnt-t-ll l optimum du fonctionnmnt d un cntral nucléair? IV 44 hauffag (inspiré d ENSIL 994) On désir maintnir la tmpératur d'un local à θ L, alors qu la tmpératur st θ 5 à l'xtériur L local donn d la chalur à l'xtériur avc la puissanc thrmiqu pt On désir comparr différnts procédés d chauffag ) On chauff dirctmnt l local n utilisant du bois comm combustibl alculr l volum V d bois nécssair par jour si la combustion d'un m d bois fournit,6 jouls ) On utilis un pomp à chalur fonctionnant révrsiblmnt ntr l'xtériur t l local a) alculr l cofficint d'fficacité d'un pomp à chalur utilisant dux thrmostats d tmpératurs L t b) alculr l'énrgi élctriqu n h à fournir pndant un jour ) L bois st utilisé pour maintnir un tmpératur θ dans un résrvoir qui srt d sourc chaud à un motur thrmiqu dithrm révrsibl dont la sourc froid st constitué par l local L travail produit par c motur srt à actionnr un pomp à chalur révrsibl ntr l'xtériur t l local a) Fair l schéma complt d c systèm t rprésntr ls transfrts d'énrgi ntr ss différnts partis b) Montrr qu l'nsmbl du motur t d la pomp à chalur st un machin au sns d la thrmodynamiqu c) alculr l volum d bois consommé par jour V 9 Un maison individull situé n Sibéri st équipé d un doubl systèm d chauffag dstiné à maintnir sa tmpératur à θ 8 : un pomp à chalur d puissanc élctriqu ; un chauffag élctriqu constitué par ds résistancs d puissanc élctriqu,5 dont l cofficint d fficacité st d % Lorsqu l xtériur st à la tmpératur θ avc la puissanc thrmiqu ( θ θ ) t la maison à la tmpératur θ, la maison cèd d la chalur à l xtériur δ, où st un constant positiv dt ) On vut détrminr la capacité thrmiqu d la maison t la conductanc thrmiqu Un jour où la tmpératur xtériur 4 st stabl, alors qu la maison st initialmnt à ctt tmpératur θ, on mt n θ march l sul chauffag élctriqu Au bout d t h, la tmpératur dans la maison st θ 8 On coup alors l chauffag t h après, la tmpératur dans la maison st θ 6 a) Ecrir ls équations différntills rliant la tmpératur θ t l tmps t dans chacun ds dux phass t/ t θ θ b) Montrr qu θ θ θ θ c) alculr t ) On suppos d abord qu la pomp à chalur st un machin dithrm révrsibl qui fonctionn ntr l xtériur, dont on not la tmpératur lsius θ t absolu, t la maison dont on not la tmpératur lsius θ t absolu Définir t calculr son cofficint d fficacité η ) L cofficint d fficacité η rél d la pomp à chalur st η η / 8 Il n st rntabl d utilisr la pomp à chalur qu si l énrgi élctriqu consommé st d au moins 6 % infériur à cll consommé par l chauffag élctriqu Dans qul domain doit êtr situé la tmpératur xtériur pour qu il soit rntabl d utilisr la pomp à chalur? 4) La tmpératur xtériur étant θ 4, on chauff la maison avc la pomp à chalur ndant qull fraction du tmps doit-ll fonctionnr? 5) Dans qul domain la tmpératur xtériur doit-ll s trouvr pour nécssitr la mis n march simultané d la pomp à chalur t du chauffag élctriqu? θ DS : théori ds machins thrmiqus, pag éponss I ) montrr qu ; 4) ; 5) ; ; ; ( ) 7) ( ) II a) + + ; + ; b) , t ; c) ε ; d) t ) ( )( ) ε ; a) t si ; b) puissancs nulls ; d) ; ) + + ; f) st maximum pour III ) q c ( ) ; ) D après l théorèm d arnot, w c + ; 4) IV ) V, 648 m / jour ; a) 9,5 / ; b) 4, 8 h ; c), 644 m / jour V a) d θ dt ( θ θ )dt ; puis dθ ( θ θ )dt ; c) θ θ 9 K θ θ θ θ t/ t t 7, 8 J K ; ) η θ θ ; ) θ θ θ , 45 ; 4) x 9, % ; 5) 9 θ 6 ; bois prts thrmiqus local xtériur motur pomp à chalur DS : théori ds machins thrmiqus, pag orrigé I éfrigératur trithrm ) Un machin thrmiqu st un systèm stationnair ou décrivant ds cycls ) L rndmnt d'un motur dithrm rél fonctionnant ntr un sourc chaud d tmpératur t l miliu ambiant d tmpératur ) rmir princip : + + Scond princip : + st infériur au rndmnt r + D'où : + omm l réfrigératur doit réfrigérr la sourc froid, st strictmnt positif d'un motur révrsibl utilisant cs mêms sourcs omm n outr l'xprssion ntr parnthèss st positiv, st supériur ou égal à un quantité positiv donc st positif, c qui montr qu l réfrigératur dithrm doit rcvoir ffctivmnt du travail 4) L'fficacité st D'après l'inégalité ci-dssus, ( si r évrsibl, si irrévrsibl) 5) rmir princip : + + Scond princip : + + D'où : + + omm l réfrigératur doit réfrigérr la sourc froid, st strictmnt positif omm n outr ls dux xprssions ntr parnthèss sont positivs, st supériur ou égal à un quantité positiv donc st positif omm t sont positifs, l prmir princip montr qu st négatif sourc chaud sourc froid sourc chaud miliu ambiant sourc froid machin machin 6) L'fficacité st l rapport du gain à la dépns L miliu ambiant étant gratuit, la sul dépns st ; l gain st D'où ( ) 7) D'après la qustion 5, ( ) 8) L'fficacité maximal st donc l produit du rndmnt d'un motur dithrm fonctionnant ntr ls sourcs t t d l'fficacité réfrigératur dithrm fonctionnant ntr ls sourcs t L réfrigératur à absorption équivaut à l'nsmbl d cs dux machins, l travail produit par l motur étant intégralmnt utilisé pour fair fonctionnr l réfrigératur dithrm II a) D après l prmir princip : + + D après l scond princip : + si l motur st révrsibl, s il st irrévrsibl b) , car il s agit d un motur d'un + sourc chaud miliu ambiant ' réfrigératur sourc froid motur DS : théori ds machins thrmiqus, pag 4 + positif + + c) ε d) t ) + ε a) l fonctionnmnt complt st révrsibl si ls échangs thrmiqus avc ls sourcs l sont, donc si t si b) l puissancs thrmiqus sont nulls pour un fonctionnmnt révrsibls, donc la puissanc mécaniqu st null aussi c) omm l fonctionnmnt intrn d la machin st révrsibl, si l on imagin qu la chalur rçu par la machin vnait d sourcs d tmpératurs égals à clls ds partis d la machin avc lsqulls lls sont n ( ) ( ) contact, l égalité d lausius srait vérifié : + + ( )( ) d) ε( ) ( ) ( ) + ) st positif si d f) st nul aux dux xtrémités d ct intrvall, donc st maximum pour l uniqu zéro d situé dans d l intrvall, soit III ) xy + Sx () x+ y x+ x ds si x dx x donc la somm st minimum quand x y ) u c( ) q q c( ) w ) D après l théorèm d arnot, w c( ) w c q + 4) w st maximum quand + st minimum, c st-à-dir, compt tnu d la propriété d la qustion, pour 5) tt solution n rprésnt pas l optimum d un réactur nucléair pour dux raisons : on put fair circulr plus vit l fluid primair qui n st pas la quantité limitant ; la quantité limitant st la puissanc thrmiqu primair, dont on tir un millur parti n augmntant dans un échangur à contr-courant idéal, ls dux fluids puvnt échangr lurs tmpératurs ; la tmpératur ds fluids sortant n st pas nécssairmnt la mêm comm l suppos implicitmnt l énoncé, donc l rndmnt put êtr millur positif DS : théori ds machins thrmiqus, pag 5 IV 6 4 ) V, 648 m / jour, a) rmir princip : + + Scond princip : + D où 9, , b) 5, J 4, 8 h 9, 5 6 a) Voir ci contr à gauch bois b) Un machin st un systèm stationnair ou qui décrit ds cycls motur L nsmbl du motur t d la pomp à chalur vérifi ctt propriété ar conséqunt, on put rmplacr l schéma rprésnté à gauch par clui local rprésnté à droit prts c) rmir princip : + + thrmiqus pomp à Scond princip : + + chalur xtériur Eliminons : 9 78, L volum d bois consommé st, 994, 648, 644 m / jour V a) En appliquant l prmir princip à la maison : prmièr phas : dθ dt ( θ θ )dt ; duxièm phas : dθ ( θ θ )dt b t c) Séparons ls variabls : dθ θ dθ θθ rmièr phas : [ ( ( ))] ( θ θ ) θ θ ( ) ( ) dt t θθ θ θ θ θ θ dθ θ dθ θθ θ θ Duxièm phas dt t [ ( θ θ )] D où θ θ θθ θ θ θ θ θ t t ( θ θ ) θ θ θ θ ( ) ( ) ( θ θ ) t / t θ θ 5 θ θ 4 θ θ t 9 7,8 θ θ,5 θ θ ) Voir cours : η,6 θ θ θ θ,5 (,5 ) 7 J K t / t 7 9 K 8 ) (,6) η ,5 ,5 ( 7 + 8) 76,45 K θ ,45 4) x ( θ θ ) x 9,% ) ( θ θ ) + θ θ θ 9 θ 6 9 DS : théori ds machins thrmiqus, pag 6 9