Fonctions de plusieurs variables Notes du Cours LM 216 Albert Cohen

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Fonctions de plusieurs variables Notes du Cours LM 216 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse aux fonctions de plusieurs variables (x 1,, x n ) f(x 1,, x n ). Celles-ci interviennent naturellement
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Fonctions de plusieurs variables Notes du Cours LM 216 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse aux fonctions de plusieurs variables (x 1,, x n ) f(x 1,, x n ). Celles-ci interviennent naturellement pour décrire la dépendance de grandeurs en fonctions de plusieurs paramètres : par exemple la distribution de la température ou de la pression atmosphérique en fonction de la position dans l espace et du temps. Elles peuvent aussi être définies par des expressions similaires à celles que l on rencontre pour les fonctions d une variable : par exemple f(x, y, z) = sin(xy 2 + 1) + z 4 + 3x 2 est une fonction des trois variables x, y et z. L objectif principal de ce cours est de généraliser aux fonctions de plusieurs variables les notions de dérivation et d intégration qui ont été abordées dans le cadre des fonctions d une variable. Ces notes contiennent la totalité des résultats du cours sous une forme très condensée. En particulier, la plupart des démonstrations détaillées en amphi sont omises, et c est un excellent exercice pour l étudiant que d essayer de les refaire uniquement à partir des indications données dans les notes. La présentation est orientée sur les fonctions de n variables, où n est un nombre arbitraire, mais l étudiant est encouragé à traduire les résultats dans le cas de fonctions de 2 ou 3 variables afin de s en forger une intuition visuelle. Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées. Toutes les remarques permettant d améliorer la rédaction peuvent être envoyées à l adresse 1 Notions de topologie dans IR n 1.1 Vecteurs et normes dans IR n Rappelons qu en dimension 2, on identifie un vecteur x de coordonnées (x 1, x 2 ) avec un point du plan de coordonnées (x 1, x 2 ) une fois fixée une origine. On généralisera ici cette identification en désignant le point ou le vecteur de coordonnées (x 1,, x n ) par x = (x 1,, x n ) IR n. 1 La norme euclidienne d un vecteur x = (x 1,, x n ) IR n est définie par x = x x2 n Le produit scalaire de x avec y = (y 1,, y n ) est défini par on a en particulier x 2 = x x. x y = x 1 y x n y n. Inégalité de Cauchy-Schwartz : pour tout x et y dans IR n x y x y, avec égalité si et seulement si x et y sont proportionels. Inégalité triangulaire : pour tout x et y dans IR n x + y x + y. On rappelle aussi que si θ désigne l angle entre deux vecteurs x et y non-nuls, on a cos(θ) = x y x y. D un point de vue géométrique, la norme euclidienne x correspond à la longueur du vecteur x (ou encore à la distance du point x à l origine). On définit ainsi la distance euclidienne entre deux points x et y par d(x, y) = x y, c est à dire la longeur du vecteur reliant le point x au point y. La norme euclidienne n est pas l unique façon de mesurer la taille d un vecteur x. Définition 1.1 On appelle norme sur IR n une application N de IR n dans IR + vérifiant les trois propriétés suivantes 1. N(x) = 0 si et seulement si x = N(λx) = λ N(x) pour tout x IR n et λ IR. 2 3. N(x + y) N(x) + N(y) pour tout x, y IR n. On vérifie facilement que la norme euclidienne vérifie ces trois propriétés. Voici d autres exemples de normes : la norme sup ou l définie par x := la norme l p définie pour 1 p + par sup x i, i=1,,n x p := ( x 1 p + + x n p ) 1/p. On voit que le cas p = 2 correspond à la norme euclidienne. Etant donné une norme N, un point x et un nombre r 0 on appelle boule de centre x et de rayon r pour la norme N l ensemble des points à distance au plus r de x, c est à dire B(x, r) = {y ; N(y x) r}. On appelle boule unité la boule B(0, 1) de centre 0 et de rayon 1. En l absence de précision sur N, il s agira systématiquement de la norme euclidienne. Définition 1.2 Deux normes N 1 et N 2 sont dites équivalentes si et seulement si il existe deux constantes c, C 0 telles que pour tout x IR n cn 1 (x) N 2 (x) CN 1 (x). Cette propriété signifie intuitivement qu un vecteur très petit dans une norme le sera aussi dans l autre. On vérifie par exemple aisément (en utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz) que On a aussi x 2 x 1 n 1/2 x 2. n 1/2 x 2 x x 2. On a en fait la propriété fondamentale suivante. Théorème 1.1 Toutes les normes sur IR n sont équivalentes entre elles. 3 1.2 Quelques notions de topologie Soit (p k ) k 0 une suite de points (ou de vecteurs) de IR n. On dit que cette suite converge vers une limite p IR n si et seulement si pour tout ε 0, il existe k 0 tel que k k 0 p k p ε. On note alors lim k + p k = p ou encore parfois p k p. Dans le cas contraire on dit que la suite diverge. Dans le cas n = 1, on a p k p = p k p et on retrouve la définition usuelle de la convergence des suites réelles. On vérifie aisément que la limite d une suite si elle existe est unique. Grâce à l équivalence des normes, il est possible de remplacer la norme euclidienne par n importe quelle autre norme N sans alterer la définition de la convergence. Il en est de même pour toutes les notions que nous allons introduire dans cette section. En particulier en utilisant la norme sup, on voit que si p k = (x k,1,, x k,n ) et p = (x 1,, x n ), la convergence de la suite (p k ) k 0 vers p est équivalente à la convergence pour tout i = 1,, n de la suite des i-ème coordonnées (x k,i ) k 0 vers la coordonnée x i. Une suite (p k ) k 0 est dite de Cauchy si et seulement si pour tout ε 0, il existe k 0 tel que k, l k 0 p k p l ε. On vérifie aisément que toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque est aussi vraie : l espace IR n est complet ce qui signifie que toute suite de Cauchy est convergente. Cette propriété se déduit aisément de la propriété analogue connue pour IR en utilisant la norme sup. L intérêt pratique de cette propriété est qu il n est ainsi pas nécessaire de connaitre la limite d une suite pour pouvoir prouver sa convergence. Définition 1.3 Un ensemble U IR n est dit ouvert si et seulement si pour tout x U il existe r 0 tel que B(x, r) U. Par convention l ensemble vide est ouvert. Pour un ensemble E quelconque on dit que x est un point intérieur à E si il existe r 0 tel que B(x, r) E. L ensemble des points intérieur à E est appelé l intérieur de E et est noté E. On vérifie que E est le plus grand ouvert contenu dans E et que E est ouvert si et seulement si il est égal à son intérieur. 4 Définition 1.4 Un ensemble F IR n est dit fermé si et seulement si son complémentaire F c = IR n \ F est ouvert. Théorème 1.2 F est fermé si et seulement toute suite de point de F qui converge a sa limite contenue dans F. Pour un ensemble E quelconque on dit que x est une valeur d adhérence de E si il existe une suite (x k ) k 0 de points de E qui converge vers x. L ensemble des valeurs d adhérence de E est noté E et est appelé l adhérence (ou la fermeture) de E. On vérifie que E est le plus petit fermé contenant E et que E est fermé si et seulement si E = E. Quelques propriétés élémentaires: 1. Toute union finie ou infinie d ouverts est un ouvert. 2. Toute union finie de fermés est un fermé 3. Toute intersection finie ou infinie de fermés est un fermé. 4. Toute intersection finie de d ouverts est un ouvert 5. Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés sont et IR N. 6. Un ensemble fini de points de IR n est fermé. 7. On a E E E. Définition 1.5 On appelle frontiere d un ensemble E l ensemble des points de son adhérence qui ne sont pas dans son intérieur, c est à dire E := E\ E= E Ec. Définition 1.6 Un ensemble E IR n est dit borné si et seulement si il existe R 0 tel que E B(0, R). Un ensemble fermé et borné de IR n est dit compact. Théorème 1.3 Pour E IR n, les trois propriétés suivantes sont équivalentes 1. E est compact 2. Propriété de Bolzano-Weierstrass : toute suite (x k ) k 0 de points de E admet une sous-suite qui converge vers une limite x E. 5 3. Propriété de Borel-Lebesgue : de toute famille d ouverts (U i ) i I telle que E i I U i, on peut extraire une sous famille finie (U 1,, U m ) telle que E U 1 U m. Définition 1.7 Un ensemble E est dit connexe si et seulement si il n existe aucune paire d ouverts (U 1, U 2 ) tels que E U 1 U 2 et E U 1 et E U 2 sont disjoints. Autrement dit, E est connexe si on ne peux pas le séparer en deux partie disjointes en l intersectant avec deux ouverts. Dans le cas d un ensemble ouvert, cela se traduite par la propriété intuitive suivante. Théorème 1.4 Un ensemble U est ouvert et connexe si et seulement si pour tout x et y dans U, il existe une ligne brisée contenue dans U qui les relie, c est à dire un ensemble fini de points {p 1,, p m } tel que p 1 = x et p m = y, et tel que les segments d extremités p i et p i+1 sont tous contenus dans U. Définition 1.8 Un ensemble E est dit convexe si et seulement si pour tout x, y E et t [0, 1] on a tx + (1 t)y E, i.e. le segment d extremité x et y est contenu dans E. On peut vérifier qu en dimension n = 1 les connexes et les convexes de IR sont exactement les intervalles (de taille finie ou infinie). En revanche, en dimension n 1 tout convexe est connexe mais la réciproque est fausse. On vérifie aussi qu une intersection finie ou infinie de compacts est un compact et de même pour les convexes. 2 Fonctions continues 2.1 Définition et propriétés fondamentales On va s intéresser à des fonctions de plusieurs variables et à valeurs réelles f : IR n IR : pour x = (x 1,, x n ) IR n, f(x) = f(x 1,, x n ) IR. On étend à ce cadre la notion de domaine de définition connue pour les fonctions d une variable. Par exemple le domaine de définition de la fonction f(x, y) = log( 3 x 2 y 2 ) est l ensemble D = {(x, y) ; x 2 + y 2 3} c est à dire l intérieur de la boule de centre 0 et de rayon 3. On s intéressera aussi parfois à la notion plus générale de fonctions de n variables et à valeurs vectorielles f : IR n IR m : pour x = (x 1,, x n ) IR n 6 f(x) = (f 1 (x),, f m (x)) IR m. Notons que chacune des fonctions f i est une fonction de n variables et à valeur réelle. On dit parfois que f est un champ de vecteurs à m composantes définis sur IR n. Si E IR n on appelle image de E par f l ensemble f(e) des images par f des points de E. On a donc f(e) = {f(x) ; x E}. On dit que la fonction f est bornée sur E si f(e) est un ensemble borné, autrement dit, il existe R 0 tel que f(x) R pour tout x E. Si F IR m, on appelle image réciproque de F par f l ensemble f 1 (F ) des antécédents par f des points de F. On a donc f 1 (F ) = {x IR n ; f(x) F}. Une fonction d une variable et à valeur réelle est décrite par son graphe, qui est le sous-ensemble de IR 2 défini par G f = {(x, f(x)) ; x IR}, et que l on représente par la courbe du plan d équation y = f(x). Dans le cas d une fonction de deux variables à valeur réelle on définit de même le graphe G f = {(x, y, f(x, y)) ; (x, y) IR 2 }, que l on peut représenter comme une surface d équation z = f(x, y) dans l espace à 3 dimensions. Pour λ IR, on appelle courbe de niveau λ de la fonction f l ensemble C λ des points du plan dont l image par f vaut λ c est à dire C λ := {(x, y) ; f(x, y) = λ} = f 1 ({λ}). Les notions de graphe et de courbes de niveau s étendent de manière évidentes au cas des fonctions de n variables. Définition 2.1 Une fonction f : IR n IR est continue au point x = (x 1,, x n ) IR n si et seulement si pour tout ε 0, il existe α 0 tel que pour tout y = (y 1,, y n ) IR n, y x α f(y) f(x) ε. Une fonction f est continue sur un ensemble E si et seulement si elle est continue en tout point de cet ensemble. L ensemble des fonctions continues sur E est noté C(E) ou C 0 (E). 7 Dans le cas de fonctions f : IR n IR m à valeur vectorielle, il faut remplacer f(y) f(x) par f(y) f(x) dans la définition ci-dessus. Grâce à l équivalence des normes, il est possible de remplacer la norme euclidienne par n importe quelle autre norme N sans alterer la définition de la continuité. On remarque que si f est continue au point x alors elle est toujours bornée sur une boule B(x, r) pour r suffisament petit. Une manière équivalente d exprimer la continuité au point x est de dire que pour tout suite (x k ) telle que x k x, on a f(x k ) f(x). On peut aussi démontrer que f est continue sur IR n si et seulement si l image réciproque de tout ensemble ouvert est un ensemble ouvert. On démontre enfin que l image d un connexe par une fonction continue est aussi connexe, et que l image d un compact par une fonction continue est aussi compact. Cette dernière propriété entraine qu une fonction continue est toujours bornée sur un compact. Définition 2.2 Une fonction f : IR n IR m est lipschtizienne si et seulement si pour tout x, y IR n on a f(x) f(y) C x y, où C est une constante indépendante de x et y. On dit parfois que f est C-lipschitzienne. On voit immédiatement que toute fonction lipschitzienne est continue. En revanche la réciproque est fausse. Un exemple de fonction 1-lipschitzienne est l application x x (cela se déduit aisément de l inégalité triangulaire). Si f : IR n IR m est une application linéaire, alors en introduisant la base cannonique (e 1,, e n ) de IR n et en notant M = max f(e i ), on voit que pour tout x = (x 1,, x n ) IR n on a n n f(x) = x i f(e i ) M x i B x, i=1 i=1 avec B = M n. En remplacant x par x y on voit ainsi que toute application linéaire est lipschitzienne et donc continue. On appelle norme de l application linéaire f la quantité f(x) f := sup x 0 x. On vérifie que f est la plus petite constante C telle que f(x) C x pour tout x. 8 2.2 Opérations sur les fonctions continues Voici trois propriétés dont les démonstrations sont élémentaires : 1. Une combinaison linéaire ou une multiplication de deux (ou d un nombre fini de) fonctions continues en un point x est continue en x. 2. Si f : IR n IR m est continue au point x et g : IR m IR p est continue au point f(x), alors g f : IR n IR p est continue au point x. 3. La fonction f : IR n IR qui à x = (x 1,, x n ) associe la i-ème coordonnée f(x) = x i est continue. On l appelle la i-ème application coordonnée Ces propriétés permettent de construire de nombreuses fonctions continues en utilisant les résultats connus sur la continuité des fonctions d une seule variable. Par exemple, la fonction f(x, y) = log( 3 x 2 y 2 ) est continue sur son domaine de définition, par composition des applications coordonnées, carré, racine, logarithme. De même, on voit que si f : IR n IR est continue au point x et f(x) 0, alors 1/f est aussi continue au point x. Une classe importante de fonction continue est celle des polynômes. On rappelle qu un polynôme d une variable est une fonction de la forme p(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m, c est à dire une combinaison linéaire d un nombre fini de fonctions puissance x k pour k entier positif. L entier m est appelé degré du polynôme p. Le terme a k x k est appelé monôme de degré k. Dans le cas de fonctions à n variable, un polynôme est une combinaison linéaire d un nombre fini de fonctions du type x k 1 1 xk 2 2 xkn n où k 1,, k n sont des entiers positifs. Le degré de x k 1 1 xkn n est par définition k 1 + +k n. Le degré de p est celui du monôme de plus haut degré présent dans p. En notant k = (k 1,, k n ) IN n, on voit ainsi qu un polynôme de degré m est de la forme p(x) = p(x 1,, x n ) = a k x k 1 1 xkn n. k 1 + +k n m Une manière naturelle d étudier les variations d une fonction f de n variables consiste à fixer n 1 d entre elles et à étudier alors la fonction par rapport à l unique variable restante. Ainsi si x = (x 1,, x n ) est un point fixé, on définit la i-ème application partielle au point x par f i,x (t) = f(x 1,, x i 1, t, x i+1,, x n ). 9 Il est facile de vérifier que la continuité de f en x entraine celle de l application partielle f i,x au point t = x i. En revanche, la réciproque est fausse : par exemple la fonction définie par f(x, y) = xy si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0 x 4 +y 4 admet des applications partielles continues en tout point, mais cependant cette fonction n est pas continue au point (0, 0). 2.3 Fonctions continues et ensembles compacts Une fonction est dite uniformément continue sur un ensemble E si et seulement si pour tout ε 0, il existe α 0 tel que pour tout x, y E x y α f(x) f(y) ε, ( f(x) f(y) dans le cas des fonctions à valeurs vectorielles). Le point important est que α dépend seulement de ε, pas de x et y. Ainsi une fonction uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse en générale. On a cependant le résultat suivant que l on peut démontrer à l aide de la propriété de Borel-Lebesgue. Théorème 2.1 Si E est un ensemble compact, toute fonction continue sur E est aussi uniformément continue. Une fonction f à valeur réele est dite minorée si et seulement si il existe M tel que f(x) M pour tout x E. Dans ce cas, l ensemble f(e) admet un infimum qui est aussi le plus grand M ayant la propriété précèdente. Cette valeur est notée inf x E f(x) et est caractérisée par les propriétés 1. Pour tout x E on a f(x) inf x E f(x) 2. Il existe une suite (x k ) de points de E telle que f(x k ) inf x E f(x). Dans le cas où f n est pas minorée, on pose inf x E f(x) =. Dans le cas où l infimum est fini, il peut-être atteint, c est à dire qu il existe x 0 E tel que f(x 0 ) = inf x E f(x), ou ne pas être atteint. Si il est atteint on parle de minimum de f sur E et on note alors f(x 0 ) = min x E f(x). On définit de manière similaire le suprémum sup x E f(x) sur E (fini ou égal à + ) que l on appelle maximum max x E f(x) dans le cas ou il est atteint. Le théorème suivant peut se démontrer à l aide de la propriété de Bolzano-Weierstrass. Théorème 2.2 Si E est un ensemble compact, toute fonction continue sur E admet un minimum et un maximum. On peut utiliser ce résultat afin de prouver l équivalence de toutes les normes définies sur IR n, en montrant leur équivalence avec la norme sup. 10 3 Différentiabilité et dérivées partielles 3.1 Définitions et propriétés élémentaires Définition 3.1 Soit f une fonction à valeur réelle définie sur un ouvert U IR n. On dit que f admet une dérivée partielle au point x = (x 1,, x n ) U par rapport à la i-ème coordonnée si la i-ème application partielle f i,x (t) associée au point x est dérivable au point t = x i. On note f (x) = f f(x 1,, x i 1, x i + h, x i+1,, x n ) f(x) x i,x(x i ) = lim. i h 0 h Le calcul de f x i consiste donc à ne dériver l expression de f que par rapport à la variable x i. Notons que les dérivées partielles f x i sont aussi des fonctions de n variables à valeurs dans IR. Par exemple si f(x, y, z) = 2x cos(y), on a f f f x (x, y, z) = 2 cos(y), y (x, y, z) = 2x sin(y) et z (x, y, z) = 0. Définition 3.2 Soit f une fonction à valeur réelle définie sur un ouvert U IR n et soit v IR n un vecteur fixé. La dérivée de f en x U suivant le vecteur v est la valeur de la dérivée de la fonction d une variable f v (t) = f(x + tv) en t = 0 si elle existe, c est à dire lim t 0 f(x+tv) f(x) t. Intuitivement cette derniere quantité mesure les variations de f lorsqu on se déplace autour de x dans la direction du vecteur u à la vitesse u. On voit en particulier que f x i (x) correspond à la dérivée en x suivant le vecteur de base e i (avec e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),...,e n = (0,, 0, 1)). Définition 3.3 Soit f une fonction définie sur un ouvert U IR n et à valeur dans IR m. On dit que f est différentiable en un point x U si et seulement si il existe une application linéaire de IR n dans IR m notée df x telle que pour tout h IR n suffisement petit f(x + h) = f(x) + df x (h) + h ε(h), avec lim h 0 ε(h) = 0. L application df x est appelée différentielle de f au point x ou encore application linéaire tangente de f au point x. La formule ci-dessus n est rien d autre qu un développement limité de f à l ordre 1 au voisinage de x. Dans le cas d une fonction d une variable à valeur réelle, cette définition redonne la notion classique de dérivabilité, et 11 on a alors df x (h) = f (x)h. Clairement, si f est différentiable au point x, elle est continue en ce point. Dans le cas d une fonction de n variables et à valeur dans IR, df x est une forme linéaire de IR n dans IR. Pour h = (h 1,, h n ) IR n on a donc df x (h) = a 1 h a n h n.
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