LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y.

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LES FONCTIONS I - RAPPELS I-1 - Définition Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. L ensemble des point tel f(x)=y est représenté
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LES FONCTIONS I - RAPPELS I-1 - Définition Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. L ensemble des point tel f(x)=y est représenté dans un repère orthonormé, et est appelée la courbe représentative de f notée «C f». Exemple et contre-exemple: Conséquence importante : L ensemble des points tels que y=f(x) étant la représentation de f dans un repère notée C f, alors A(x A,y A ) appartient à C f si et seulement si f(x A )=y A. On dit que A vérifie l équation de f. Exemple : f(x)=x² Le point A(2,5) n appartient pas à C f car : f(2) = 2² = 4 5 I-2 - Vocabulaire L ensemble des x pour lesquels la fonction est définie s appelle le domaine de définition. «x» s appelle l antécédent de y. Il se lit sur la droite des abscisses. «f(x)» s appelle l image de x par f. Il se lit sur la droite des ordonnées. II Fonctions affines II-1 - Définition Ce sont les fonctions définies sur R par : f(x) = mx + p avec m et p appartenant à R. Autre type de définition : qui se lit : «f» est une application de R dans R qui à x associe mx + p. Remarque : - si p=0, f(x)=ax est appelée fonction linéaire. - si m=0, f(x)=p est appelée fonction constante. II-2 - Vocabulaire m = le coefficient directeur ou la pente de la droite affine. Il renseigne sur le comportement la fonction. Si m 0 la droite «monte» Si m=0 le droite «est constante» Si m 0 la droite «descend» p = l ordonnée à l origine. II-3 Tableau de variation Il renseigne sur le comportement de la fonction sur son domaine de définition. Pour la droite affine, on distingue 3 cas : II-4 Tableau de signe Il faut au préalable résoudre l équation f(x) = mx + p = 0 Définition : Résoudre une équation c est trouver l ensemble des valeur de «x» (x1, x2, ) tel que f(x)=0. (f(x1), f(x2), est égal à zéro). Résolution : Le tableau de signe renseigne sur le signe de f(x) lorsqu on parcours la droite des abscisses. Ici je suis dans le cas m 0 Commentaire : Ma fonction passe par «0» et elle est toujours croissante. Donc elle est b négative puis s annule pour x =, ensuite elle devient positive. a Théorème : La fonction f est affine si et seulement si pour tout réel, a, b on a : f ( b) f ( a) = cons tan te b a Ce rapport est le coefficient directeur de la droite affine. Il s agit de «m» dans y = mx + p. Exercice p72 III La fonction Carré (x²). III-1 - Définition La fonction carré est la fonction qui pour tout réel «x» associe f(x)=x². Ou Remarque 1 : ici D f = R Remarque 2 : l ensemble d arrivée (ou des images) est les réels positifs, ie x² n est jamais négatif. III-2 Courbe représentative Tableau à remplir à la calculette. Unité des abscisses= 2cm, pour les ordonnées 2cm. x /4-1/2-1/4 0 1/4 1/2 3/4 1 2 f(x) 4 1 0,56 0,25 0,06 0 0,06 0,25 0, Tracé de la courbe : Propriété : dans un repère orthogonal, la parabole d équation y=x² admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie. Vocabulaire : le point ou la parabole change de sens s appelle le sommet. III-3 Tableau de variation Graphiquement, on voit bien que la courbe est décroissante jusqu'à «0», qu elle vaut zéro à l origine puis qu elle est croissante ensuite. III-4 Tableau de signe Le tableau de signe de f(x)=x² est le suivant : III-5 Résoudre l équation x²=a Graphiquement, résoudre f(x) =a revient à trouver l ensemble des abscisses des points d intersection entre C f et la droite d équation y=a Cas a 0 On remarque que Cf est toujours au dessus de y=a. Il n y a pas d intersection donc pas de solution. Cas a=0 On remarque qu il n y a qu un point d intersection c est l origine O(0,0). Donc S={0} Cas a 0 On remarque qu il y a 2 points d intersections entre la droite y=a et Cf Donc S={- a, a} III-6 Résoudre l inéquation x² a Graphiquement, résoudre l inéquation f(x) a revient à trouver l ensemble des abscisses de points tel que la courbe est strictement au dessus de la droite horizontale y=a. Cas a 0 On remarque que Cf est toujours au dessus de y=a. Tous les x conviennent Donc S=R Cas a=0 On remarque que le courbe est toujours au dessus de 0 sauf à l origine O(0,0). On va alors exclure l abscisse de ce point. Donc S=]- ;0[ U ]0 ;+ [ Cas a 0 On remarque que la courbe est au dessus de y=a pour tous les x - a, puis elle passe en dessous, puis à partir de x a, elle repasse au dessus. Donc S=]- ;- a[u] a ;+ [ Remarque : - En général les solutions d une équation sont un ensemble défini d abscisse de points, noté S= {x 1,x 2 }. - Alors que pour une inéquation, les solutions sont des intervalles d abscisse de points noté S= [x 1 ;x 2 ] ou bien ]x 1 ;x 2 [ ou bien ]x 1 ;x 2 ]U[x 3 ;x 4 [ U se lit «union» IV La fonction inverse ( x 1 ) IV-1 - Définition La fonction inverse est la fonction qui pour tout «x» appartenant à R* = ]- ;0[ U ]0 ;+ [ associe son inverse. Soit : IV-2 Représentation graphique x /2-1/4 0 1/4 1/2 1 2 f(x) error Représentation graphique : Propriété : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction inverse admet l origine comme centre de symétrie. 1 Vocabulaire : La courbe représentative de f ( x) = s appelle une hyperbole. x Les droites en jaune, que la fonction f(x) approche sans jamais toucher s appellent : Asymptotes (horizontale et verticale). IV-3 Tableau de variation Graphiquement, on voit bien que la courbe est décroissante de l infini à 0, puis qu elle est décroissante de 0 à + l infini. Elle n a pas de valeur pour x=0. IV-4 Tableau de signe Le tableau de signe de f(x)=1/x est le suivant : Pour tous les «x» négatifs, les images obtenue sont négatives (ie f(x) 0), et pour tous les «x» positifs, les images sont positives (ie la courbe est au dessus de la droite des abscisses). IV-5 Résoudre l inéquation 1/x a Graphiquement, résoudre l inéquation f(x) a revient à trouver l ensemble des abscisses de points tel que la courbe est strictement au dessus de la droite horizontale y=a. Cas a 0 Cf est au-dessus de y=a dans l intervalle suivant : S=]- ;-1/a[ U ]0 ;+ [ Cas a=0 Pour les x 0 il n y a pas de solution, par contre pour 0 x + la courbe est au dessus de l axe des abscisses. Donc S=]0 ;+ [ Cas a 0 Cf est au dessus de la droite y=a entre 0 et 1/a non inclus Donc S=]0 ;1/a[ V- Les fonctions associées aux fonctions de base V-1 La fonction trinôme (ou Polynôme de degré 2) Définition : Ce sont les fonctions «f» définies sur R par f(x) = ax² + bx + c. Avec a,b,c appartenant à R et a 0. Remarque : si a=0 alors f(x) = bx + c qui est une fonction affine!!!!! Exemple de fonction trinome : - f(x) = 3x² + 2x + 4 (ici a=3, b=2, c=4) - g(x) = x² + 4x + 4 (ici a=1, b=4, c=4) Autre écriture de g(x) - g(x) = (x+2)² Vocabulaire : La première écriture de g(x) est dite «forme développée» La deuxième écriture de g(x) est dite «forme canonique». Propriété : La courbe représentative d une fonction Trinôme est une parabole. - si a 0, le sommet de la parabole est en bas. Donc l extrêmum de «f» est un minimum - si a 0, le sommet de la parabole est vers le haut. Donc l extrêmum de «f» est un minimum Remarque importante : si le forme développée d une fonction Trinôme est de la forme f(x) = ax² + bx + c, alors le forme réduite est de la forme : b b f ( x) = a( x + ) + f ( ) 2a 2a Vu lors de l activité avec la calculatrice : Si la courbe représentative Cf, de f(x)= x² est une parabole telle que f(0)=0 Alors on peut déduire toutes les fonctions trinômes peuvent se déduire de f(x) de la façon suivante : - f 1 (x)= x² + 2 est la translation de Cf de vecteur +2i (i= vecteur unité pour les abscisses) - f 2 (x)= (x + 3)² est la translation de Cf de vecteur -3j (j= vecteur unité pour les ordonnées) - f 3(x)= 4x² est est la courbe Cf qui se contracte 4 fois plus vite (plus resserré autour de l axe des ordonnées) - f 4 (x)= 4(x+ 3)²+2 est la courbe Cf contractée puis translatée de vecteur +2i-3j Remarque : pour f(x)=ax² : si a 1 la parabole se resserre Pour f(x)=ax² : si a 1 la parabole s ouvre (elle se desserre). V-1 La fonction homographique ax + b Définition : Il s agit des fonctions de la forme f ( x) = avec a, b, d appartenant à R et c 0. cx + d ax + b a b Remarque : si c=0, alors f ( x) = = x + qui est une fonction affine! d d d nombre _ quelconque La fonction f(x) existe pour tout «x» tel que cx+d 0 (car n existe pas!) 0 On a alors x qui doit être différent de -d/c. Le domaine de définition de «f» est donc : ]- ; -d/c[ U ]-d/c ; + [
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